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Bonjour,
Peut-être êtes-vous intéressé par la solution analytique dans le cas général $$ a^x=x^b $$
$$a^{x/b}=x\quad\implies\quad x\:a^{-x/b}=1 \quad\implies\quad x\:e^{\left(-\frac{\ln(a)}{b}x \right)}=1 $$
$$\left(-\frac{\ln(a)}{b}x \right)e^{\left(-\frac{\ln(a)}{b}x \right)}=-\frac{\ln(a)}{b}$$
En posant : $X=\left(-\frac{\ln(a)}{b}x \right)$ et $Y=-\frac{\ln(a)}{b}$
On arrive à l'équation de Lambert : $\quad X^X=Y$
La résolution de cette équation implique une fonction spéciale : La fonction W de lambert : https://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html $\quad X=W(Y)$.
$$\left(-\frac{\ln(a)}{b}x \right)=W\left(-\frac{\ln(a)}{b}\right)$$
D'où la solution analytique de l'équation $ a^x=x^b $ :
$$\boxed{x=-\frac{b}{\ln(a)}W\left(-\frac{\ln(a)}{b}\right)}$$
Dans le cas $a=3$ et $b=9$ on obtient $\quad x=-\frac{9}{\ln(3)}W\left(-\frac{\ln(3)}{9}\right)$
En fait, la fonction W de Lambert est multivalued. Dans le cas présent de valeurs numériques elle prend deux valeurs réelles qui sont notées $W_0$ et $W_{-1}$
$W_0\left(-\frac{\ln(3)}{9}\right)\simeq -0.140478921198\quad $ et $\quad W_{-1}\left(-\frac{\ln(3)}{9}\right)=-3\ln(3)\quad $(calcul numérique de WolframAlpha).
Il en résulte les deux solutions réelles $x\simeq 1.15082482130\quad$ et $\quad x=27$.

Bonsoir,

Il y a aussi 1.1508... si x n'est pas supposé entier.

A.

Bonjour (non, ce n'est pas une option)

Étant en première année d'études supérieures, je suis tombé sur une équation assez surprenante dont je n'ai pas réussi à déterminer la solution d'un point de vue algébrique. Si quelqu'un avait le courage de m'aider, je lui en serais très reconnaissant.

Merci d'avance !

3^?=?^9