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J'en suis arrivé à la question 2°b et j'ai pensé à  répondre en  résonnant par récurrence est ce que c'est une bonne méthode?

Mais en montrant que la seconde est surjective est ce que l'on montre que la première l'est aussi ?

AH je crois comprendre,
est ce que je peux dire que l'application g va de F dans E or F' est inclus dans E  donc on peut dire que  g va aussi de F dans F'.

Sachant que F'=g(F)  donc   pour tout image de g égal  à g(x)  il y a forcément un antécédant x  donc g est surj.

Bonjour, j'ai le même problème je suis coincé au petit 1. Je sais qu'il faut que je montre que g est surjective mais je sais pas comment .Faut-il que je crée une nouvelle fonction? merci d'avance pour votre réponse.

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plaît. Je ne sais pas où commencer.

Preuve du théorème de Cantor-Schröder-Bernstein). Le but de cet exercice est de
démontrer le théorème de Cantor et Bernstein. On se donne donc deux ensembles E et F et
deux applications injectives f:E - > F et g:F - >E.
1. On note E' = f(E) et F' = g(F). L'ensemble F' est donc un sous-ensemble de E.
Expliquer pourquoi g, (resp. f) réalise une bijection de F -> F', (resp f est une bijection de E dans
E'). On note g-1 la réciproque de F' -> F.

2. On va construire une application Q bijective de E dans F'. Pour cela considérons les
ensembles suivants :
Eo=E \F', Er = (go f)(Eo), et par induction, pour n € N, En+1 = (g of)(En). On a donc pour n >1, En = (go f)"(Eo).
gol

(a) Montrer que Eo et Ei; sont disjoints pour tout i>= 1
(b) Montrer que pour tout j >= 0 et pour tout i > =1 les ensembles Ej et Ej+i sont disjoints.
On pourra utiliser pour cela l'injectivité des applications (g o f)^j et la question 2.(a)
(c) Vérifier que l'image de U(n>=0)En par gof est (Un+1)En et que la restriction de gof à U(n+1)En est injective.
(d) On note A l'ensemble (Un>0)En. On définit Q: E -> F' par Q(x) = (go f)(x) si x € A et Q(x) = x sinon. Remarquez que si x
n'appartuent pas a A alors x  appartient pas Eo et donc x € F'. On en déduit que pour tout x, Q(x) est un élément de F'. L'application est surjective par
construction.
i. Vérifier que  Qest surjective de E -> F'. (Pour un élément y de F', considérez le cas où y appartient à l'image de A par gof et le cas où y n'est pas dans
(g o f)(A). Dans ce dernier cas, y appartient pas a A et donc Q(y) = y. Conclure.)
ii. Montrer que Q est injective de E -> F' et donc bijective.
ii. Que peut-on dire de l'application g-1 o Q? A-t-on démontré le théorème de
Cantor Bernstein? Justifier votre réponse.
3. Un exemple. On considère E =N,F= (n € N:n>2) et
f: E -> F              g: F -> E
n -> n+4             n -> n

Déterminer les ensembles En, A= U(n>=0) E,, F' et l'application Q