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Di K compacte,  L compacte  est-ce-que K inter L est un compacte ?

Merci à Fred et à Tibo (et à Mohamed, bien sûr !).

Je m'en vais relire mon Claude Berge et éventuellement mon Espace Vectoriel Topologique de Bourbaki !

Bb

Je traine, je traine....
En réalité, on ne parle quasiment plus jamais de topologie générale à l'université (parfois en M1, et encore...).
Les espaces que l'on considère sont des espaces métriques, qui sont toujours séparés.
Mais effectivement, sur le fond, Mohamed a raison. Un espace est compact s'il est séparé et possède la propriété de Borel-Lebesgue.

A+
Fred.

Bonsoir:

Oui, Freddy, je t'ai bien compris.
Tu  fait allusion à la  propriété de Borel-Lebesgues:

Soit  [tex]X[/tex]  un espace  topologique. On dit  que  [tex]X[/tex]  vérifie  la  propriété  de  Borel-Lebesgues si :

(BL) Pour  tout  ensemble  I et  pour toute famille [tex](O_i)_{ i \in I}[/tex] d'ouverts de [tex]X[/tex]  tel  que [tex]X =  \bigcup_{ i\in I} O_i[/tex] , il  existe  une  partie  finie [tex]J[/tex]  de  [tex]I[/tex]  tel  que  : [tex]X =  \bigcup_{ i\in J}O_i[/tex]

on  exprime  ça  comme  suit : de tout  recouvrement de [tex]X[/tex] par une  famille d'ouverts, on  peut  extraire un recouvremet fini de [tex]X.[/tex]

Bien sûr , il  ne  faut  pas  confondre  ça  avec  le  simple  fait  que  [tex]X[/tex] peut  être  recouvert  par  un  nombre  fini  d'ouverts (pour  tout  espace  topologique [tex]X[/tex]   on  a  [tex]X=  X \cup X[/tex]   )

Je vois , que tu préféres la definition : un  espace  topologique  est  compact si  et  seulement  s'il  vérifi  (BL)

Or  pour  des  auteurs  (modernes au  moins)  ils appelent  ça :  quasi  compacité

[tex]X[/tex] quasi  compact  [tex]\iff   X[/tex] verifie  (BL)

Tu  peux  par  exemple  consulter :
N.Bourbaki  TG I.59 , TOPOLOGIE GENERALE chapitres 1 à 4

Pour  les  mêmes   auteurs  :

[tex]X[/tex]  est  compact   [tex]\iff  X[/tex] est  séparé   et  [tex]X[/tex]  est  quasi compact.

Personnelement on  m'a  enseigné à  la  faculté  la  compacité = (BL) + séparé
mais  je  me  rappelle que  mon  professeur  de  sup  ( en 1983/1984 ) nous  avait donné  la  définition  que  tu  preéféres (compact =  (BL)  ) ...

Bref je  suppose  qu'actuellement  la  majorité  des professeurs adaptent  la  définition  avec  la  condition  "séparé" et  il  doit  y  avoir  des  raisons  qui  justifient  cela  ....

PS : Tu remarqueras que la définition de la quasi compacité donnée  par N.Bourbaki est la suivante :
(C) Tout  filtre  sur   [tex]X[/tex]  admet  au  moins  un  point  adhérent.
Mais ,s i  tu  poursuit la  lecture ,  tu  verra  que  [tex](C)   \iff  (C')  \iff  (C'')  \iff  (C''')[/tex]
où
(C')  : Tout  ultrafiltre  de  [tex]X[/tex]   est  convergent.
(C'') : De  toute  famille  de  fermés  d'intersection  vide  on  peut  extraire  une  sous-famille finie d'intersection vide.
(C''') : (BL) : l'axiome  de  Borel-Lebesgues.

Cordialement.

Bonjour:

Normalement, si vous faites un cours complet sur la compacité, on donne la proposition

Proposition
Soit [tex]X[/tex]   un  espace topologique séparé. et [tex]K[/tex]  un  compact de [tex]X.[/tex]
Alors :
1)  [tex]K[/tex]   est  une  partie  fermée de   [tex]X[/tex]
2) Toute  partie   [tex]F[/tex]  fermée de   [tex]K[/tex]  est  compacte

Dans ta question , si   [tex]K_1[/tex]  et  [tex]K_2[/tex]  sont  les  compacts  en  question,  tu  prends  [tex]K=K_1[/tex]    et  [tex]F= K_1 \cap K_2[/tex]

Remarque : même  si   [tex]K_1  \cap  K_2 = \emptyset[/tex] le  résultat  subsiste.

Salut,

j'ai bien peur que oui ... en prenant une définition plus large d'un compact : réunion finie d'ouverts le contenant.