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Bonjour cailloux

  Personnellement je trouve ça toujours bien si une réponse est apportée à la fin du fil ou du moins des éléments qui permettent de reconstruire une solution et cela même si le fil est ancien.

F

Re,
Pas un clou c est peut être aller vite en besogne.. sans avoir regardé de près ton changement de variables semble une bonne idée ..

Bonjour à tous,
J'exhume un tantinet en supposant qu'il est intéressant de relancer ce fil. Je propose une solution qui a une faiblesse (peut-être rédhibitoire). Les intervenants plus affutés que moi pourront dire ce qu'ils pensent à propos d'une certaine borne supérieure d'un ensemble :

Zebulor a écrit plus haut qu'il était facile de démontrer que
$\forall (a,b,c)\geq 0, \,\, \dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}\leq \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
par exemple en majorant chaque fraction par $\dfrac{a}{a^2+2}$ et permutation circulaire.

J'affirme et c'est la faiblesse mentionnée plus haut, que la quantité $\dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}$ admet un plus petit majorant. Appelons-le $M$.

Montrons maintenant que $\forall(a,b,c)\geq 0,\quad \dfrac{a+b}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b+c}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c+a}{c^2+a^2+2}\leq \dfrac{3}{2}$ (1)
En éliminant les cas où au moins deux des réels $a,b,c$ sont nuls, on effectue le changement de variable :

  $\begin{cases}a=1+x\\b=1+y\\c=1+z\end{cases}$ avec $\begin{cases}x>-1\\y>-1\\z>-1\end{cases}$. L'inégalité (1) se traduit par :

$\dfrac{1}{2+\dfrac{x^2+y^2}{2+x+y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y^2+z^2}{2+y+z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z^2+x^2}{2+z+x}}\leq \dfrac{3}{2}$ qui est vraie avec égalité pour $x=y=z=0$ soit $a=b=c=1$.

On peut écrire (1) sous la forme :

    $\underbrace{\dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}}_{\leq M}+\underbrace{\dfrac{a}{a^2+c^2+2}+\dfrac{b}{b^2+a^2+2}+\dfrac{c}{c^2+b^2+2}}_{\leq M}\leq \dfrac{3}{2}$

On en déduit que $2M=\dfrac{3}{2}$ soit $M=\dfrac{3}{4}$ avec égalité atteinte pour $a=b=c=1$

A vos critiques !

Bonsoir,

N'a t on pas  [tex]max(\displaystyle\frac{|x|}{x²+y²+2}+\frac{|y|}{y²+z²+2}+\frac{|z|}{z²+x²+2})=0.75 [/tex] pour x,y et z positifs ?

Bonsoir !

Je vais vous présenter des graphiques ... d'après les données de Bendri.

Soit f(x,y,z) = [tex]\displaystyle\frac{|x|}{x²+y²+2}+\frac{|y|}{y²+z²+2}+\frac{|z|}{z²+x²+2}[/tex], et la surface d'équation f(x,y,z) = r.

On se rend compte qu'il faut r ≥ 0 ... mais aussi r ≤ 0.75 !

Selon les valeurs de r, les graphiques évoluent, en voici quelques uns :

dans l'ordre r = 0.745, r = 0.7,  r= 0.6,  r= 0 .5, r = 0.4,  r = 0.3, r = 0.1, r = 0.01. Remarquer les changements d'échelles ...

La dernière figure est "typique" en forme si on modifie r autour de 0+, et l'échelle !

Mais que tirer de cette surface géométrique ?

Bernard-maths

Bonjour et Merci à tous pour vos réponses.
En fait je cherchais une solution pour le niveau secondaire.
Après des recherches et avec l’aide de certains amis j’ai trouvé cette solution :

\begin{align*}
   \sum_{cyc} \frac{a}{a^2 +b^2 +2}  & \leq \sum_{cyc} \frac{a}{2\sqrt{2(a^2 + b^2)}} \\
   & = \sum_{cyc} \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\frac{(a^2 + c^2)a^2}{(a^2+b^2)(a^2 + c^2)}}\\
   & \leq \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\sum_{cyc} a^2 +c^2} \sqrt{\sum_{cyc} \frac{a^2}{(a^2 +b^2)(a^2 + c^2)}}\\
  & \left(\text{ On a utilisé l’inégalité de Cauchy-Schwarz: } \\
\sum \sqrt{a_ib_i} \leq \sqrt{\sum a_i}.\sqrt{\sum b_i} \right) \\
  &= \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2) \sum_{cyc} \frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}\\
  &= \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2) \sum_{cyc} \frac{a^2b^2+a^2c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\\
  &= \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{(a^2+b^2+c^2) \frac{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}
\end{align*}

Il suffit donc de montrer que :
$ \large \forall x,y,z >0 : \frac{(x+y+z)(xy+xz+yz)}{(x+y)(x+z)(y+z)} \leq \frac{9}{8}$

Or cette inégalité est $\Leftrightarrow$  à :  $ x(y-z)^2+y(x-z)^2+z(x-y)^2 \geq 0$ qui est vraie.

Ce qui termine la démonstration.

Bonjour,
je me rends compte que j'avais mal lu les équations du système de Black Jack dans mon précédent post, du coup mon système de base est n'est pas le bon, et la base de Gröbner calculée ne correspond du coup pas à notre problème.
avec cette méthode il faudrait calculer la base de Gröbner associée au bon système !
Bonne journée