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MATHILDE23 · 26-02-2023 16:53:24

Je vous remercie pour toute vos réponses!! Il s'agit d'une question que j'ai trouvé dans un qcm. Il y avait ces propositions suivantes:

A. 81√11
B. 9√11
C. 11√81
D. 3√99

Les réponses sont B et D. J'aurai dû les présenter avant, afin de trouver une méthode de calcule à partir de ces réponses.

Pour répondre à la personne sous le pseudo yoshi, il s'agit de ma soeur. Nous ne travaillons pas ensemble. Je ne sais donc pas les questions qu'elle pose sur ce forum.

yoshi · 23-02-2023 21:21:44

Re,

Glozi a écrit :

Si on est prêts à utiliser un algo, l'un des plus efficaces et faciles à effectuer est sans doute l'algorithme de Babylone (ou méthode de Héron).

Oh que oui, surtout pour un programmeur...
En utilisant le module decimal de Python, je viens de ressortir le script que j'avais écrit, il y a 2 à 3 ans :
j'ai obtenu 500 décimales en 2/100e et 10 itérations, 50000 décimales en 9/10e s et 16 itérations...
Avec la racine r de 50000 décimales, j'ai testé r*r, j'ai obtenu 891,00000000... 500 lignes de 0 ! ;-))
Avec 500 décimales :
r=29.8496231131985986420343946300361801553437969103041823735281393150483617834813946203795905921546158581631130206457471093304789580637179273180139243974025596257258657734579011431965500015088824002947380112142971967436898894939444613903352366866429613872673882556930549507264338376856061444773946646060152358210108973301845731685801309353805783576368469341728010380381926508547187997685666544893797191328035112884762212925463099653842646350414404442889187111727997234647175183900631668808302276425717583

Ton 2e essai (29,849623113198598642) a 18 décimales : elles sont toutes exactes !

@+

Glozi · 23-02-2023 20:47:31

Bonsoir,
Si on est prêts à utiliser un algo, l'un des plus efficaces et faciles à effectuer est sans doute l'algorithme de Babylone (ou méthode de Héron).

On cherche la racine de $a=891$.
On prend un nombre $x$ qu'on pense assez proche de racine de $891$. Par exemple $x=30$ (on peut prendre autre chose ce n'est pas crucial)

On remplace $x$ par $(x+a/x)/2$, puis on recommence.

Au début $x=30$, on calcule $(30+891/30)/2 = 29,85$.
On recommence avec $x=29,85$, on calcule $(29,85 + 891/29,85)/2 \simeq 29,849623115577889447$
On recommence avec $x=29,849623115577889447$, on calcule $(x+a/x)/2 \simeq 29,849623113198598642$
etc...
l'avantage avec cet algo est que pour une étape, il suffit de faire une division, une division (et une autre division par deux). Un autre avantage est sa rapidité : grosso modo à chaque étape on double le nombre de chiffres significatifs !

Pour montrer la qualité de ces approximations je montre sur les premiers exemples :
$29,85^2 = 891,0225$
$29,849623115577889447^2 \simeq 891,0000001420418676296053129971$
$29,849623113198598642^2 \simeq 891,0000000000000000056610247352$

Bonne soirée

yoshi · 23-02-2023 19:16:14

B'jour,

Autre méthode : par dichotomie.
Méthode appliquée dans un jeu bien connu, c'est plus, c'est moins...

Soit a=29 et b = 30.
On calcule la moyenne $m=\frac{a+b}{2}=29,5$
On calcule son carré : $m^2=29,5^2 = 870,25$
870,25 < 891, donc 29,5 trop petit.

Nouvel encadrement entre
a = 29,5 et b = 30.
Nouvelle moyenne : $m=\frac{a+b}{2}=29,75$
Calcul du carré et nouvelle comparaison :
$m^2=29,75^2 = 885,0625$
885,0625 < 891, donc 29,75 trop petit.

Nouvel encadrement entre a = 29,75 et b =30.
Nouvelle moyenne : $m=\frac{a+b}{2}=29,875$
Calcul du carré et nouvelle comparaison :
$m^2=29,875^2 = 885,0625$
885,0625 < 891, donc 29,75 trop petit.

Nouvel encadrement entre a = 29,75 et b =30.
Nouvelle moyenne : $m=\frac{a+b}{2}=29,875$
Calcul du carré et nouvelle comparaison :
$m^2=29,875^2 =892.515625$
892.515625 > 891, donc 29,875 trop grand.

Nouvel encadrement entre a = 29,75 et b =29,875.
Nouvelle moyenne : $m=\frac{a+b}{2}=29,8125$
Calcul du carré et nouvelle comparaison :
$m^2=29,8125^2 = 892.515625$
892.515625 > 891, donc 29,875 trop grand.

Nouvel encadrement entre a = 29,8125 et b =29,875.
Nouvelle moyenne : $m=\frac{a+b}{2}=29.84375$
Calcul du carré et nouvelle comparaison :
$m^2=29.84375^2 =890.6494140625$
890.6494140625 < 891, donc 29.84375 trop petit.

Nouvel encadrement entre a = 29.84375 et b =29.875.
etc...
Voilà une méthode typiquement programmable pour éviter les calculs répétitifs...
Python n'est pas loin...

@+

Bernard-maths · 23-02-2023 16:29:26

Bonjour Yoshi !

Heureusement, tu trouves le même résultat que moi ...

J'avais pensé rappeler cette vieille méthode tombée dans l'oubli. Mais je l'avais moi-même laissée tomber au profit du calcul mental, lorsqu'on n'a pas besoin d'une précision trop grande !

On pourrait aussi remarquer que 891 = 11 fois 81, mais c'est fortuit !
Sinon $\sqrt{891} = \sqrt{11} * \sqrt{81} = \sqrt{11}$ * 9 ≈ 3.3 * 9 ≈ c'est pas meilleur que direct avec 891 !

Bonne soirée, Bernard-maths

yoshi · 23-02-2023 15:48:59

Bonjour,

Hmmmm.... Dis-moi Audrey24 alias Mathilde43, n'aurais-tu pas déjà posé une question similaire, à laquelle j'avais répondu longuement ?

Mais, passons.

Lorsque j'étais élève de 4e (ça ne date pas d'hier), j'avais appris cette méthode (que les jeunes profs ne connaissent pas). Attention, elle demande de ne pas avoir peur des calculs, du calcul mental, maitriser les tables de multiplication :

Cherchons la racine de 55225.
On pose :
5 52 25 |
|-----
|
comme une division, mais sans diviseur : on sépare par tranches de 2 chiffres en partant des unités et on commence tout à gauche.
Question n° 1: quel est le plus grand carré parfait contenu dans 5 ?
Réponse : c'est 4 dont la racine carrée est 2.
Et on complète :
* On place 2 dans la zone "diviseur" qui devient la zone racine carrée,
* Au dessous de la racine (en zone "quotient"), on écrit le produit,
* Dans la zone reste, on écrit le reste 5 - 2 x 2 = 1
5 52 25 |2
1 |---------------------
|2 x 2 = 4
|----------------
|
On abaisse les deux chiffres suivants et on double la racine provisoire que l'on pose à droite chez les "quotients"...
On met un point à côté (pour un nombre à 1 chiffre x à trouver) de 4, puis on écrit x puis le multiplicateur $\cdot$ (le même nombre à 1 chiffre). Ci-dessous j'ai mis les points.
On cherche donc en fait le nombre x tel que $\overline{4\cdot} \times \cdot \leqslant 152$ (avec $\overline{4\cdot}$ compris entre 40 et 49) :
5 52 25 |2
1 52 |-----
|2 x 2 = 4
|----------------
|4. x . =
Question n°2. Quel est donc ce nombre "point" ?
Réponse : c'est 3.
En effet, 44 x 4 = 176 trop grand, alors que 43 x 3 = 129.
On complète : 43 x 3 = 129, on met met donc 3 à la suite du 2 (zone racine) et le reste 159 - 129 = 23 en dessous de 152 :
5 52 25 |2
1 52 |-----
23 |2 x 2 = 4
|----------------
|43 x 3 = 129
On abaisse les deux chiffres suivants (ou on met une virgule et abaisse deux zéros, si on est déjà arrivé aux unités), on double la racine et on recommence :
5 52 25 |23
1 52 |-----
23 25 |2 x 2 = 4
|----------------
|43 x 3 = 129
|-----------------
|46. x . =
Là encore on veut $\cdot$ tel que $\overline{46\cdot} \times \cdot \leqslant 2325$, avec $\overline{46\cdot}$ compris entre 460 et 469.
Ici, c'est 5... :
5 52 25 |235
1 52 |-----
23 25 |2 x 2 = 4
0 00 |----------------
|43 x 3 = 129
|-----------------
|465 x 5 = 2325
Donc [tex]\sqrt{55225}\,=\,235[/tex]
Mais les nombres deviennent vite très très longs et les calculs très fastidieux et "impossibles".

-------------------------------------------------------------------------------------------
Je reprends le nombre d'Audrey : 891.
Je repars de la droite, je sépare par tranches de 2 chiffres et je présente comme une division :

8 91                  |
                      |------------------------------------
                      |

1ere question : quel est le plus grand carré parfait inférieur ou égal à 8 ?
C'est 4 dont la racine est 2
Je cherche la différence de 8 et 4 : 8 - 4 = 4
En dessous de 8 j'écris donc cette différence, 4, à droite j'écris la multiplication 2 x 2 = 4 :

8 91                  | 2
4                     |------------------------------------
                      | 2 x 2 = 4

Et j'abaisse les 2 chiffres suivants :

8 91                  | 2
4 91                  |------------------------------------
                      | 2 x 2 = 4 ; 8 - 4 =4
                      |-----------------
                      |

Maintenant je double la racine ou j'additionne le multiplicande (à gauche du x) et le multiplicateur (à droite du x), on arrive au même résultat : 4.
Je pose le 4 dans la 2e colonne, je mets un point à côté j'écris le symbole de la multiplication et je mets un point à côté : ces points seront remplacés par le même chiffre :

8 91                  | 2
4 91                  |------------------------------------
                      | 2 x 2 = 4 ; 8 - 4 =4
                      |-----------------------
                      | 4. x . = ? ; 491 - ...

Et je cherche par quel chiffre remplacer ce point.
J'ai donc à chercher un chiffre tel que le nombre formés de 4 dizaines et de ce chiffre des unités multiplié par ce même nombre d'unités soit inférieur ou égal à 491 (presque 500).
Là, il faut tâtonner et faire preuve de bon sens : 500 à diviser par plus de 40, on pense à 9.
49 x 9 = 441, je ne peux pas trouver plus grand...
J'inscris le 9 en position de racine et je complète la multiplication :

8 91                  | 29
4 91                  |------------------------------------
                      | 2 x 2 = 4 ; 8 - 4 = 4
                      |-----------------
                      | 49 x 9 = 441 ; 491 - 441 = 50

La différence 491 - 441 = 0 50 se place sous le 4 91 :

8 91                  | 29
4 91                  |------------------------------------
0 50                  | 2 x 2 = 4 ; 8 - 4 = 4
                      |-----------------
                      | 49 x 9 = 441 ; 491 - 441 = 50

Et maintenant je place la virgule après 29, et j'abaisse deux zéros après 0 50 :

8 91                  | 29,
4 91                  |------------------------------------
0 50 00               | 2 x 2 = 4 ; 8 - 4 = 4
                      |-----------------
                      | 49 x 9 = 441 ; 491 - 441 = 50

Soit, je double la racine 29 x 2 = 58, soit j'additionne 49 + 9 = 58...
Et j'inscris en ligne ma multiplication à trous :

8 91                  | 29,
4 91                  |------------------------------------
0 50 00               | 2 x 2 = 4 ; 8 - 4 =4
                      |-----------------
                      | 49 x 9 = 441 ; 491 - 441 = 50
                      |------------------
                      | 58. x . = ?

Hmmm... Presque 600 à multiplier au maximum par 9 pour être inférieur ou égal à 5000 :
9 me paraît beaucoup. En effet 6 x 9 = 54 on va dépasser 5000...
Plutôt 8 : 588 x 8 = 4704. C'est bon. On complète :
5000 – 4704 = 02 96 que l'on inscrit et le 8 se place en racine

8 91                  | 29,8
4 91                  |------------------------------------
0 50 00               | 2 x 2 = 4
  02 96               |------------------------------------
                      | 49 x 9 = 441 ; 491 - 441 = 50
                      |--------------------------------------
                      | 588 x 8 = 4704 ; 5000 - 4704 = 296

On continue...
On abaisse deux zéros après 2 96
On double la racine (sans s'occuper de la virgule), ou on double la racine 298 x 2 = 596 ou on assitionne multiplicande et multiplicateur de la multiplication précédente (588 + 8 = 596) et on prépare la multiplication à trous :

8 91                  | 29,8
4 91                  |------------------------------------
0 50 00               | 2 x 2 = 4 ; 8 - 4 = 4
  02 96 00            |-----------------
                      | 49 x 9 = 441 ; 491 - 441 = 50
                      |------------------
                      | 588 x 8 =  4704 ; 5000 - 4704 = 296
                      |----------------------------
                      | 596. x . = ?

On a donc à multiplier presque 6000 par un nombre entre 1 et 9, pour trouver presque 30 000 :
ce sera 5 maximum (à cause des retenues intermédiaires)...
J'opterais plutôt pour 4, la preuve :
5965 x 5 = 29 825, trop grand ; mais avec 4 : 5964 x 4 = 23 856.
C'est bon.
Soustraction : 29600 - 23856 = 0 57 44. Je pose la différence et le 4 en racine.

8 91                  | 29,84
4 91                  |------------------------------------
0 50 00               | 2 x 2 = 4 ; 8 - 4 = 4
  02 96 00            |----------------------------------
   0 57 44            | 49 x 9 = 441 ; 491 - 441 = 50
                      |------------------........................
                      | 588 x 8 =  4704 ; 5000 - 4704 = 296
                      |----------------------------
                      | 5964 x 4 = 23856 ; 29600 - 23856 = 5744

J'abaisse deux zéros après 0 57 44 , je double la racine et prépare ma multiplication à trous :

8 91                  | 29,84
4 91                  |------------------------------------
0 50 00               | 2 x 2 = 4 ; 8 - 4 = 4
  02 96 00            |-----------------
   0 57 44 00         | 49 x 9 = 441 ; 491 - 441 = 50
                      |--------------------
                      | 588 x 8 =  4704 ; 5000 - 4704 = 296
                      |------------------ -------
                      | 596. x . = ?
                      |-------------------------
                      | 

Je dois m'approcher de à (peu près) 600 000 en multipliant environ 60 000 par un nombre entre 0 et 9 : 10 est impossible donc 9 devrait faire l'affaire : 59869 x 9 = 538821.
Maintenant on connaît la chanson, quand même :
je pose 9 en racine, j'effectue la soustraction 574400 - 538821 = 35879.
Je pose la différence, j'abaisse deux zéros et prépare ma multiplication à trous 5968.. x . = ? que je complète dans la foulée:

8 91                     | 29,849
4 91                     |------------------------------------
0 50 00                  | 2 x 2 = 4 ; 8 - 4 = 4
  02 96 00               |-----------------
   0 57 44 00            | 49 x 9 = 441 ; 491 - 441 = 50
      03 71 99 00        |--------------------
                         | 588 x 8 =  4704; 5000 - 4704 = 296
                         |------------------ -------
                         | 5964 x 4 = 23856 ; 29600 - 23856 = 05744
                         |-------------------------
                         | 59689 x 9 = 537201 ; 574400 - 537201 = 037199

Si je le fais pour moi, ça tient (un peu) moins de place :

Oui, je sais, c'est pas rigolo comme calcul...

@+

[EDIT] Concernant ma question au début de ma réponse, j'ai trouvé ton post ici :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15623
Tu n'y posais pas la même question, certes, mais elles sont quand même liées :
comprendre la différence entre diviseur et divisible, c'est savoir ce qu'est un diviseur, donc aussi ce qu'est un multiple.
Tu m'avais pourtant dit, après ma réponse : « Oui, c'est beaucoup plus clair, je vous remercie. »
Tu avais répondu trop vite ?

Bernard-maths · 22-02-2023 19:11:54

Bonsoir !

Je reprends pour la suite, une 2ème approximation !

On sait que 29.85² = 891.0225. On reprend les calculs :

891 = (29.85 - e)² = 29.85² - 2*29.85*e + e² = 900.0225 - 59.7e + e²

Comme e << 1 alors e² est "très proche de zéro", on le néglige et on calcule une valeur approchée de e.

e ≈ [tex]\frac{891.0225 - 891}{59.7}[/tex] ≈ [tex]\frac{0.0225}{59.7}[/tex] ≈ 0.0004^-. D'où [tex]\sqrt{891}[/tex] ≈ 29.85 - 0.0004 ≈ 29.8496 !

On vérifie (à la calculette !) que 29.8496² ≈ 890,998620, donc très bon résultat à la main !!!

Car tout est fait "à la main" et par écrit.

Bernard-maths

Bernard-maths · 22-02-2023 17:30:44

Bonjour !

Personnellement j'utilise une formule permettant d'avancer par approximations successives.

891 = (30 - e)² = 30² - 2*30*e + e² = 900 - 60e + e²

Comme e < 1 alors e² est "proche de zéro", on le néglige et on calcule une valeur approchée de e.

e ≈ [tex]\frac{900 - 891}{60}[/tex] ≈ [tex]\frac{9}{60}[/tex] ≈ 0.15. D'où [tex]\sqrt{891}[/tex] ≈ 30 - 0.15 ≈ 29.85 !

On remarquera que 29.85² = (30 - 0.15)² = 30² - 2*30*0.15 + 0.15² = 891 + 0.15² ...

Remarque : 0.15² = 0.0225 est donc l'erreur, toujours par excès, sur le carré.

Bernard-maths

Fred · 22-02-2023 17:03:30

Bonjour,

Qu'appelles-tu calculer???? Parce que $\sqrt{891}$ n'est pas un entier, pas même un nombre décimal.
En première approximation, je remarquerais que $30^2=900$ et donc que $\sqrt{891}$ est un peu inférieur à $30$.
Après, s'il faut extraire une racine carrée, je passe mon tour!

F.

audrey24 · 22-02-2023 16:08:52

Bonjour, comment calculer racine carré de 891 sans calculatrice ?

Merci d'avance

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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