Re,
Quand on dit : Dans $\dfrac 1 x$, x ne peut valoir 0, il faut comprendre que dans ce cas précis, x c'est ton dénominateur et que ce n'est qu'un cas particulier de
un dénominateur ne doit jamais être nul qui est le
cas général...
Avec $\dfrac{1}{x-1}$ voilà un autre cas particulier :
le dénominateur est [tex]x-1[/tex]
ce dénominateur ne devant pas être nul, on a donc $x-1\neq 0$ d'où $x\neq 1$
C'est donc un point du programme de 2de sur les domaines de définition qui n'était pas acquis...
Si j'ai $f(x)=\dfrac{x-3}{(x-2)(x+2)}$
je dois avoir :
$(x-2)(x+2)\neq 0$ donc $x\neq -2$ et $x\neq 2$...
A quoi peut bien ressembler la courbe ?
Bin déjà, le plan est partagé entre zones délimitées par les 2 droites verticales d'équations $x=-2$ et $x=2$ déterminées par les valeurs interdites.
Dans ce cas précis, tu dois savoir que lorsque x se rapproche de -2 et de 2, de chaque côté de la droite, y se rapproche (tend vers) de l'infini... mais en $+\infty$ et en $-\infty$...
Quand tu fais tendre x vers - 2 par valeurs inférieures à -2, x-3 est négatif et $x^2-4$ positif
donc f(x)<0...
Voyons ça de plus près pour te convaincre...
Quand x tend vers -2, x-2 tend vers -5, et $x^2-4$ tend vers 0
Donc $f(x)$ tend vers $\dfrac{-5}{0}$ : cela veut dire que $f(x)$ est égal au quotient de -5 par un nombre positif de plus en petit (donc inférieur à 1) et qui se rapproche de 0, donc ce quotient est de plus en grand en valeur absolue.
Petits calculs de vérification :
x = -2.11 et f(-2.11)= -11.302809113028097
x = -2.10 et f(-2.10)= -12.439024390243897
x = -2.09 et f(-2.09)= -13.82776419451239
x = -2.08 et f(-2.08)= -15.563725490196056
x = -2.07 et f(-2.07)= -17.795717795717827
x = -2.06 et f(-2.06)= -20.77175697865355
x = -2.05 et f(-2.05)= -24.93827160493831
x = -2.04 et f(-2.04)= -31.188118811881196
x = -2.03 et f(-2.03)= -41.60463192721295
x = -2.02 et f(-2.02)= -62.437810945273604
x = -2.01 et f(-2.01)= -124.9376558603525
Quand je rapproche x de -2 par valeurs supérieures à -2, x-3 est négatif et $x^2-4$ négatif
donc f(x)>0...
Le même raisonnement que ci-dessus te montrerait que f(x) devient de plus en grand en valeur absolue et positif donc qu'il tend vers $+\infty$
Résumons-nous :
Si je rapproche x de -2 (sans jamais avoir x=-2 puisque valeur interdite) par valeurs inférieures, f(x) est négatif (courbe en dessous de l'axe des x) et devient de plus en plus petit en se rapprochant de la droite verticale x=-2.
Si je rapproche x de -2 (sans jamais avoir x=-2 puisque valeur interdite) par valeurs inférieures, f(x) est positif (courbe au dessus de l'axe des x) et devient de plus en plus grand tout en en se rapprochant de la droite verticale x=-2.
Heureusement il y a des méthodes plus rapides pour avoir l'aspect général de la courbe
Parce que sinon, il faut poursuivre le raisonnement enclenché.
Entre -2 et x-3 négatif et $x^2-4$ aussi donc f(x) >0
Et on fait tendre x vers +2 par valeurs inférieures à 2
f(x) reste positif et devient de plus en plus grand en se rapprochant de la verticale x=2
Et si on fait tendre x vers 2 par valeurs supérieures, f(x) devient négatif, de plus plus en petit en se rapprochant de la verticale x =2
2 étant aussi une valeur interdite, on n'aura jamais la valeur x =2
A partir de 2 on augmente régulièrement x, que se passe-t-il ?...
f(x) croît régulièrement, coupe l'axe des x pour x=3 et continue d'augmenter lentement jusqu'à un maximum pour redécroitre et tendre vers 0...
Pour x tendant vers + ou $-\infty$ voilà dans ce cas la méthode :
$f(x)=\dfrac{x-3}{x^2-4}=\dfrac{x\left(1-\dfrac{3}{x}\right)}{x^2\left(1-\dfrac{4}{x^2}\right)}$
Quand x tend vers $\pm\infty$ la parenthèse du numérateur tend vers 1 et la parenthèse du dénominateur aussi, donc f(x) tend vers [tex]\dfrac{x}{x^2}[/tex]...
Et comme $x\neq 0$ on peut simplifier par x et dire que f(x) tend vers $\dfrac 1 x$...
Donc,
quand x tend vers $-\infty$, f(x) tend vers 0 par valeurs négatives
et
quand x tend vers $-\infty$, f(x) tend vers 0 par valeurs positives...
Ton graphique te montre donc 3 morceaux de courbe.
De gauche à droite :
pour $x<-2$ la courbe est en dessous de l'axe des x elle s'en éloigne progressivement pour descendre de plus en vite vers la droite x=-2
pour -2<x<2, le morceau est tout entier au dessus de l'axe des x plus on près de la droite x =-2 plus la courbe est en haut en se rapprochant de x=2 la courbe descend jusqu'à un minimum puis remonte de plus en plus haut plis x est proche de 2.
pour x>2, la courbe part de tout en bas, remonte, coupe l'axe des x pour x =3 (f(x)=0), passe par un maximum puis décroît lentement et se rapproche de l'axe des x tout en restant au dessus...
Allez un p'tit coup de Geogebra et tu verras...
Avec les bons outils tout ça devient plus rapide et plus "évident"....
@+
