leo0
Bonjour Yoshi
Si en exercice, je dois tracer la courbe représentative de f(x)
alors pour tracer la parabole d'équation $f(x) = x² + 3x - 1$, je dois faire un tableau de valeurs
$\begin{array}
{|c|cccccccccccccc|}
x & -\infty & & -4 & & -3 & & -2 & & -1& & 0 & & 1 & & &
\
{f(x)} & & & 3 & & -1 & & -3 & & -3 & & -1 & & 3 & & &
\
{} & & & & & & & & & & & & & & & &
\end{array}$
La question qui me pose problème : avec les valeurs prises, et bien, je ne trouve pas l'extremum de la parabole
Tout ce que je sais, d'après mon cours,
si a > 0 alors la parabole est tournée vers le haut et passe par un extremum qui est un minimum
yoshi
Salut,
Parce que l'abscisse que tu cherches n'est pas entière...
1. Regarde (Observer, Comparer, Déduire !) ton tableau.
Tu as :
f(-4)= 3
f(-3)=-1
f(-2)=-3
Là, f décroît...
Puis :
f(-1)=-3
f(0) =-1
f'(1)=3
Là, f croît...
Donc, forcément l'abscisse du sommet est entre -2 et -1.
2. D'autre part c'est toi qui m'a appris que que si [tex]f(x_1)=f(x_2)[/tex], alors [tex]x_S=\dfrac{x_1+x_2}{2}[/tex]
J'ai par exemple f(-3)=f(0)=-1 d'après ton tableau...
Ici, [tex]x_1=-3[/tex] et [tex]x_2 =0[/tex]
Alors, conclusion : [tex]x_S=\dfrac{-3+0}{2}=-\dfrac 3 2[/tex]
Tu as oublié ?
3. JE t'ai appris (et démontré, à ta demande) que :
[tex]x_S=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
Ici, b = 3 et a = 1
Donc [tex]x_S=-\dfrac{2}{2\times 1}=-\dfrac 3 2[/tex]
Ça y est ?
Leo, tu fatigues, tu as besoin de vacances !
Que fais-tu l'an prochain ?
@+
leo0
J'ai un peu trop pris l'habitude d'utiliser géogebra et de taper l'équation de la droite dans la barre de saisie
je résume :
j'ai mon tableau de valeurs
j'observe que
f(-4)=3
f(-3)=-1
f(-2)=-3
ainsi f décroit
f(-1)=-3
f(0)=-1
j'observe que f croit
j'en déduis que : ... la courbe passe par un extremum qui est situé entre -2 et -1
yoshi
Re,
Oui...
Et tu peux, je te l'ai montré, calculer facilement son abscisse...
@+
leo0
Déterminons deux points de la courbe de f(x) ayant la même ordonnée
cherche les solutions de f(x) = 1
$x² - 3x + 1 = 1 <=> x² - 3x = 0 <=> (x-\frac{3}{2})² -\frac{3}{2} = 0 <=> (x-\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}}) (x-3/2 -\sqrt{\frac{3}{2}})=0 $
$<=> (x-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}) (x -\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})=0$$<=> x - 1,5 + 1,22 ) (x - 1,5 - 1,22)=0 <=> x = 0,28 $ou $x = -2,72$
Les solutions de l'équation f(x) = 1 sont $x = 0,28$ ou $x = -2,72$
Par conséquent,l 'abscisse du sommet est la moyenne de deux points ayant même ordonné
$\frac{-2,72+0,28}{2}=-1,22$
j'ai voulu essayer comme ça, mais je ne trouve pas -1,5
Vois-tu où se trouve mon erreur ?
yoshi
Re,
$x² - 3x + 1 = 1 <=> x² - 3x = 0 <=> (x-\frac{3}{2})² -\frac{3}{2} = 0 <=> (x-\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}}) (x-3/2 -\sqrt{\frac{3}{2}})=0 $
1. Nan, c'est faux. Ça, c'est juste :
$x² - 3x + 1 = 1 <=> x² - 3x = 0 <=> (x-\frac{3}{2})² -\left(\frac{3}{2}\right)^2 = 0 <=>\;(x-\frac{3}{2})² -\frac{9}{4} <=>\cdots$
Mais bien trop compliqué...
Car
2. Pourquoi tout ça ? Alors que :
[tex]x^2-3x=1=1 <=>x^2-3x=0 <=> x(x-3)=0[/tex] et tu as une équation-produit très simple à résoudre...
Leo, tu n'ouvres pas assez les yeux...
@+
leo0
Justement, c'est ce que j'ai fait au départ (sur ma feuille de brouillon )
$x²-3x +1 = 0 <=> x² - 3x +1 - 1 = 0 <=>x²-3x = 0 <=> x(3 - x) = 0 <=> x = 0 $ ou $x-3 = 0 $
$<=> x = 0 $ ou $x = 3$
Les deux solutions de l'équation $x²-3x + 1 = 0$ sont $x = 0$ ou $x = 3$
Maintenant, je calcule la moyenne de ces deux abscisses
$x_S=\frac{x_1+x_2}{2}= \frac{3+0}{2} = 1,5$
et j'ai pas -1,5
voilà...
yoshi
Re,
La raison en est simple : dans le post 1, tu as fait ton tableau à partir de[tex] f(x)=x^2+3x-1[/tex]
Voilà... ^_^
@+
leo0
oK
pour les variations de la fonction f(x) = x² + 3x - 1
f(x) est :
décroissante sur $]-\infty;-1,5]$
passe par un extremum qui est en fait un minimum et les coordonnées du sommet sont (-1,5; -3)
croissante sur $[-1,5;+\infty[$
yoshi
Salut,
Oui.
Petit rappel : l'exercice était celui-ci :
On considère la fonction f telle que à tout x de R on fait correspondre [tex]f(x)=x^2−4x−3[/tex]
1. Dans un repère orthonormé (O,I,J), Tracer $C_f$ la courbe représentative de f.
Déterminer graphiquement ses variations.
2. Déterminer graphiquement les abscisses ses points d'intersection de $C_f$ avec la droite d'équation [tex]y =2[/tex].
3. Écrire $f(x)$ sous sa forme canonique.
4. En déduire algébriquement les solutions de l'équation [tex]f(x)=2[/tex]
5. Représenter graphiquement les variations de la fonction g telle que à tout [tex]x[/tex] de $\mathbb{R}$ on fait correspondre [tex]g(x)=|−x+1|[/tex]
6. Lire graphiquement les abscisse de l'intersection des deux demi-droites précédentes avec $C_f$
7. En utilisant la forme canonique obtenue au 3. retrouver algébriquement les solutions de l'équation [tex]f(x)=|−x+1|[/tex]
Tu as déjà traité les questions 1, 2, 3 et 4
Tu as déjà établi que [tex]f(x)=(x-2)^2-7[/tex] (forme canonique)
Nous en sommes au point 5.
@+
leo0
Salut,
Juste avant de poursuivre la question 4
Pour représenter graphiquement la fonction $g(x)=|x^2+3x-1|$
et bien, j'ai toujours besoin de mon tableau de valeurs avec les mêmes valeurs, la question que je me pose : faut-il rajouter une ligne au tableau de valeurs ?
yoshi
Re,
Non, pas la peine...
Tu prends tes valeurs de x comme d'habitude puis tu calcules $x^2+3x-1$ puis tu prends la valeur absolue de ce résultat et tu le mets directement sur la ligne en-dessous.
Tu ne fais pas une ligne pour $x^2$, une ligne pour $3x$ et une ligne pour $x^2+3x-1$ ...
Alors ne mets que deux lignes : celle pour x et celle pour $|x^2+3x-1|$
@+
leo0
Bonjour,
Puis-je écrire cette équivalence ?
$-3,3 < f(x) < 0,3 <=> 0,3 < - f(x) < 3,3$
yoshi
Salut,
Pourquoi as-tu besoin de ça ? J'ai l'impression que tu herches à te compliquer la vie...
Ma réponse est oui, si te ne commets pas de faute : il y en a une dans ce que tu écris (manque un -).
Ça, c'est juste :
$-3,3 < f(x) < 0,3 <=> -0,3 < - f(x) < 3,3$ : c'est -0,3 et non 0,3...
@+
leo0
j'ai fait ce calcul pour trouver les deux points de la courbe
$g(x) = 0 <=> x² + 3x - 1 = 0 <=> (x + \frac{3}{2})² -(\frac{3}{2})² - 1 = 0 <=> (x + \frac{3}{2})² - \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = 0 <=> (x + \frac{3}{2})² - \frac{13}{4} = 0 $
<=>
$( x + \frac{3}{2}+ \sqrt{\frac{13}{4}})(x + \frac{3}{2} - \sqrt{\frac{13}{4}})=0$
<=>
$(x+\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}) (x+\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}})=0$
<=>
$(x+ 1,5 + 1,8 )(x+1,5 - 1,8 )=0$
<=>
$(x + 3,3 ) = 0 $ ou $( x - 0,3) = 0$
j'en ai déduis que entre -3,3 et 0,3 et bien je prends l'opposé des images
yoshi
Rebonjour,
j'ai fait ce calcul pour trouver les deux points de la courbe
1. "les" est un article défini. Ici tu es en train de dire qu'il n'y a que deux points sur la courbe : tu veux dire : j'ai fait ce calcul pour trouver les deux points de la courbe où elle coupe l'axe des abscisses ?
2. Ça ne m'explique pas pourquoi tu as besoin de ça...
$(x+\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}) (x+\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{13}}{2})=0\,<==>\left(x+\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)\left(x+\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right)=0$
Et les deux abscisses sont :
[tex]x_1=-\frac{3+\sqrt{13}}{2}[/tex] et [tex]x_2 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}[/tex]
3. Tu n'as besoin de ces points pour tracer ta courbe, comme tu l'as déjà fait, utilise des valeurs de $x$ entières...
Enfin, sauf si on te le demande expressément, les solutions sont toujours données avec des valeurs exactes et non approchées
@+
leo0
Bonjour Yoshi,
Je n'ai pas pu te répondre tout de suite, car je n'avais pas la Wifi là où j'étais
| -x + 1|
Les deux cas à étudier sont
$-x + 1 < 0 $c'est à dire $-x + 1 < 0 <=> -x < - 1 <=> x > 1.$
et dans ce cas $-x + 1 = -(-x + 1) = x - 1$
$-x + 1 > 0$ c'est à dire $- x + 1 > 0 <=> - x > - 1 <=> x < 1.$
dans ce cas $-x + 1 = -x +1$
j'ai voulu faire pareil avec | x² - 3x + 1|
leo0
c'est plutôt ce calcul que j'aurais dû proposer :
$ x² + 3x - 1 > 0 <=> (x + \frac{3}{2})² - \frac{9}{4} - \frac{4}{4} > 0 <=> (x + \frac{3}{2})² - \frac{13}{4} > 0 <=> (x + \frac{3}{2} - \sqrt{\frac{13}{4}})(x + \frac{3}{2} - \sqrt{\frac{13}{4}}) > 0$
$(x + \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2})(x + \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}) > 0 <=> (x + \frac{3+\sqrt{13}}{2})(x - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}) > 0$
yoshi
Salut,
Oui...
Pour tracer tes deux demi-droites, il te suffisait de prendre quelques abscisses de part et d'autre de 1, de calculer [tex]y=|-x+1|[/tex] correspondants, de placer les points puis de les joindre...
j'ai voulu faire pareil avec | x² - 3x + 1|
Beau courage, mais cette année ça t'est très difficile le signe de x² - 3x + 1 c'est pour l'année prochaine...
En soi, techniquement, ce n'est pas trop (très) difficile, mais hors-programme : des savoir-faire te manquent.
Je t'ai donné au post #100, la courbe représentative de [tex]f(x)= x^2 - 3x + 1[/tex] en rouge et la courbe de [tex]g(x)=|x^2 - 3x + 1|[/tex] pour que tu n'aies pas à le faire...
Je te suggérais une observation : qu'est-ce qui change à la courbe verdâtre ([tex]C_g[/tex] par rapport à la rouge ([tex]C_f[/tex]) ?
puis une question : es-tu capable de l'expliquer ? Pas de le justifier (ça, je te montrerai)...
@+
leo0
Bonjour,
y = x² + 3x - 1
a =1; a>0 la parabole est tournée vers le bas
La parabole est décroissante sur $]-\infty;-\frac{3}{2}]$ et elle est croissante sur $[-\frac{3}{2};+\infty[$
y = | x² + 3x - 1|
La parabole est croissante sur $[-3,3;-\frac{3}{2}]$
elle admet un extremum qui est un maximum et il est atteint en $x = -\frac{3}{2}$
puis elle est décroissante sur $[-\frac{3}{2};0,3]$
Pour l'expliquer :
pour tracer f(x) = x² + 3x - 1, j'obtiens des images négatives entre -3,3 et 0,3
f(-3,3) = 0
f(-3) = -1
f(-2) = -3
f(-1) = -3
f(0) = -1
f(0,3)=0
pour tracer f(x) = | x² + 3x - 1|
f(-3) = -1 alors | f(-1)| = - (-1)=1
f(-2) = -3 alors | f(-2)| = -(-3)=3
f(-1) = -3 alors | f(-1)| = -(-3)=3
f(0) = -1 alors | f(0)| = -(-1) = 1