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Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

yoshi

Salut,

La courbe Cg n'est pas une parabole et tu n'as pas vu ce qu'il y avait à voir, ou alors tu as oublié de le dire...
Je te suggère de décalquer Cg et de la poser sur Cf... ou de tracer Cf avec geogebra avec une couleur, puis Cg avec une autre couleur.
Que constates-tu, géométriquement parlant, après superposition des 2 courbes ?

Explication claire :
Pour une même abscisse $x_1$
* si [tex]f(x_1) \geqslant 0[/tex] alors [tex]g(x_1)=f(x_1)[/tex]
* si [tex]f(x_1) <0[/tex], alors g(x_1)=-f(x_1)>0 un point [tex]B(x_1\,;\,g(x_1))[/tex] est donc bien le ..... du point A précédent par rapport...

@+

leo0

Entre les points x = -3,3 et x = 0,3 j'observe une symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

yoshi

Re,

Tout à fait... mais seulement pour la partie de la parabole qui se situe en dessous
Et pour revenir à l'exercice avec [tex]|-x+1|[/tex], tu pourrais tracer la droite complète et tracer ensuite le symétrie de la partie où les ordonnées négatives...
Mais c'est plus simple en établissant un tableau de valeurs : en joignant les points et, maintenant sachant à quoi t'attendre, tu ne te diras pas que tu as commis une erreur : tu vas obtenir un V...

@+

leo0

f(x) = x² + 3x - 1
f(-4) = 3
f(-3,3) = 0
f(-3) = -1
f(-2) = -3
f décroît
f(-1) = -3
f(0) = -1
f(0,3) = 0
f(1) = 3
f croît

pour | x² + 3x - 1|
je prends les valeurs absolues de toutes les images précédentes ? c'est bien cela..

leo0

je prends tout ça

|f(-4)|

|f(-3,3)|

|f(-3)|

|f(-2)|

|f(-1)|

etc..

yoshi

Oui.

@+

leo0

$ x = -4 =>f(x) = g(x)$
$ x = -3,3 => f(x) = g(x)$

$f(x) = g(x)$ pour des abscisses compris entre $]-\infty;-3,3]$ et $[0,3; +\infty[$
je peux ajouter :
$f(x) = g(x) > 0$ pour des valeurs de $x$ compris entre $]-\infty;-3,3]$ et $[0,3;+\infty[$

leo0

$x = -3 => f(x) < 0$ et $g(x) > 0$
$x = -2 => f(x) < 0$ et $g(x) > 0$
$x = -1 => f(x) < 0$ et $g(x) > 0$
$x = 0 => f(x) < 0$ et $g(x) > 0$
$x = 0,3 => f(x) = 0$ et $g(x) = 0$
j'observe :
$g(x)$ est toujours positif
et $g(x)$ est l'opposé de $f(x)$ pour des valeurs de $x$ comprises entre $x = -3,3$ et $x = 0,3$
$g(x) = -f(x)$ pour des valeurs de $x$ comprises entre $x = -3,3$ et $x = 0,3$

leo0

5. Lire graphiquement les abscisses des points d'intersection des 2 demi-droites avec $C_{f}$.

Pour lire les abscisses des points, j'ai tracé une droite perpendiculaire à l'axe des abscisse et passant par le point d'intersection
j'obtiens x =-1et x =5,5

6. En utilisant la forme canonique retrouver algébriquement les solutions de l'équation f(x) = | -x + 1|
$\left\lbrace\begin{matrix}
f(x) = (x -2)² - 7 \
f(x) = | -x + 1|
\end{matrix}\right.$ <=> $(x - 2)² - 7 - | -x + 1| = 0$

$-x + 1 > 0 $ si $x < 1 $
alors $| -x + 1| = -x + 1$

$(x - 2)² - 7 - (- x + 1) = 0 <=> (x - 2)² + x - 8 = 0$
et là, je vois pas comment trouver $ x$

yoshi

Bonjour,

Ok pour -1...
Pour 5,5 :
1. Si tu lis bien ton graphique, tu verras que ce n'est pas 5,5, mais que c'est une valeur approchée entre 5,4 et 5,3...
2. Puisqu'il s'agit d'une valeur approchée, non n'écrit pas [tex]x=5,4[/tex] mais [tex]x\approx 5,4[/tex]

Tu ne trouves pas la réponse ? J'en suis désolé...
Normal ! C'est (de nouveau) de ma faute : je me suis aperçu que j'ai fait un copier/coller d'une question précédente et que je n'ai pas ensuite tout corrigé...
Il fallait lire la question ainsi :

6. En utilisant la forme canonique (~~obtenue au 3.~~) retrouver algébriquement les solutions précédentes.

Tu vas bien retrouver x=-1 et l'autre solution, tu devras en donner la valeur exacte en utilisant la racine carrée, puis tu vérifieras que tu as bien 5,3<x<5,4.

Pour chacun des deux cas étudiés, tu vas trouver deux racines, il te faudra dire - rapidement - pourquoi, chaque fois, tu en élimines une (et pas parce que tu vois sur le graphique que ce n'est pas possible)

Après ça, tu auras bien gagné des vacances...

@+

leo0

Bonjour Yoshi,

Pour la lecture des points d'intersection de $y = | -x + 1|$ avec la parabole $y = x² - 4x - 3$
j'ai cliqué sur droite perpendiculaire et j'ai positionné la droite perpendiculaire au voisinage de l'intersection recherchée, jusqu'à ce que l'info-bulle m'informe Parabole c Fonction f
Mon pifomètre me dit que c'est inférieur à 5,5 et supérieur à 5,25

yoshi

Salut,

Ton pifomètre DOIT te dire entre 5,25 et 5,4 et non 5,5.
La valeur exacte sera [tex]x=\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}[/tex] d'où [tex]x\approx 5.372281323269014...[/tex]

@+

leo0

$\left\lbrace\begin{matrix}
f(x) = x² - 4x - 3\
f(x) = | -x + 1|
\end{matrix}\right.$ => $x² - 4x - 3 = | -x + 1|$

si $x < 1$ c'est à dire $-x + 1 > 0$
$| -x + 1| = -x + 1$

$x² - 4x - 3 - | -x + 1| = 0 <=> x² - 4x - 3 + x - 1 = 0 <=> x² - 3x -4 = 0 <=> (x - \frac{3}{2})² - (\frac{3}{2})² - 4 = 0 $
$<=> (x - \frac{3}{2})² - \frac{9}{4} - \frac{16}{4} = 0 <=> (x - \frac{3}{2})² - \frac{25}{4} = 0 <=> (x - \frac{3}{2} +\sqrt{\frac{25}{4}}) (x-\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}}) = 0 $
$(x - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}) (x - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}) = 0 <=> (x - \frac{3+5}{2}) (x -\frac{3-5}{2})=0 <=> (x - \frac{8}{2}) = 0 $ ou bien $ (x - \frac{-2}{2}) = 0 $
Les solutions sont x = 4 et x = -1

sachant que j'ai posé comme condition $x < 1$, je ne peux pas avoir de valeur négative donc j'élimine $x = 4$

yoshi

Salut,

C'est tout à fait juste, et la conclusion nickel

$<=> (x - \frac{3}{2})² - \frac{9}{4} - \frac{16}{4} = 0 <=> (x - \frac{3}{2})² - \frac{25}{4} = 0 <=> (x - \frac{3}{2} +\sqrt{\frac{25}{4}}) (x-\frac{3}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}}) = 0 $

Tu devrais prendre l'habitude d'écrire :

$<=> \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} - \dfrac{16}{4} = 0 <=> \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{25}{4} = 0 <=> \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac 5 2\right)^2= 0 $
$ <=>\left(x - \dfrac{3}{2}-\dfrac 5 2\right)\left(x - \dfrac{3}{2}+\dfrac 5 2\right)=0<=> (x-4)(x+1)=0 <=> \cdots$

Il y aurait moins de risques d'erreur...

@+

leo0

je veux avoir A² - B² à partir de A² - x et je dois trouver un nombre B tel que √x = B

leo0

$\left\lbrace\begin{matrix}
f(x) = | -x + 1| \
f(x) = x² - 4x - 3
\end{matrix}\right.$ =>$ x² - 4x - 3 = | -x + 1| <=> x² - 4x - 3 - | -x + 1| = 0$

si $ x > 1$ c'est à dire $- x + 1 < 0 $

$| -x + 1| = - (-x + 1) = x - 1$

$x² - 4x - 3 = x - 1 <=> x² - 4x - 3 - (x - 1) = 0 <=> x² - 4x - 3 - x + 1 = 0 <=> x² - 4x - x - 3 + 1 = 0$
<=>
$\left(x + \frac{5}{2}\right)² - \left(\frac{5}{2}\right)² - 2 = 0 <=> \left(x + \frac{5}{2}\right)² - \frac{25}{4} - \frac{8}{4} = 0 <=> \left(x + \frac{5}{2}\right)² - \frac{33}{4} = 0$

et là je cherche une(autre) fraction telle que son carré soit égale à $\frac{33}{4}$
c'est bien cela ?

yoshi

Rez,

Oui, [tex]\sqrt{\dfrac{33}{4}}[/tex] et depuis la 3e, tu sais que [tex]\sqrt{\dfrac{33}{4}}=\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt 4}=\dfrac{\sqrt{33}}{2}[/tex] et on ne peut pas faire mieux...

@+

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