leo0
$a(x_1-x_2) (x_1+x_2+\frac{b}{a}) = 0 <=> (x_1-x_2) = 0$ ou $(x_1+x_2+\frac{b}{a}) = 0$
$(x_1-x_2) = 0 <=> x_1= x_2$
$x_1+x_2 +\frac{b}{a}=0$ <=> $x_1+x_2 = -\frac{b}{a} <=> ??$
yoshi
Salut,
Les conditions ont été fixées dès le départ : deux points distincts [tex]A(x_1\,;\,y_1)[/tex] et [tex]B(x_2\,;\,y_2)[/tex] de la parabole, tels que $y_1=y_2$...
Par condition de symétrie l'abscisse du milieu M de [AB] [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}[/tex] est aussi celle du sommet S...
Puisque $y_1=y_2$ (tu as déjà fait tout ça !!!) alors [tex]ax_1^2+bx_1+c = ax_2^2+bx_2+c[/tex], qui en passant de tout dans le 1er membre, est équivalent à : [tex]ax_1^2+bx_1+c - ax_2^2-bx_2-c=0[/tex]
Soit : [tex]a(x_1^2-ax_2^2)+b(x_1-x_2)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a(x_1-x_2)(x_1+x_2)+b(x_1-x_2)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex](x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0[/tex]
Montrer en résolvant cette équation-produit que [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
On en est là !
Tu dois montrer que c'est toujours vrai, ça ne peut donc pas se faire avec des $x_1$ et $x_2$ particuliers.
Tu es devant la porte, tu as réussi à l'ouvrir et tu restes scotché sur le seuil...
Qu'est-ce tu dois faire ? Résoudre l'équation-produit ! Donc, vas-y, résous-là...
Regarde bien la forme de la réponse attendue (et c'est pour ça que ma forme est plus "parlante") et compare avec l'équation-produit...
C'est déjà fait ?
Alors recommence : il y a quelque chose à voir et tu ne l'as pas vu...
Résous !
Lance-toi !
@+
yoshi
Re,
Non, ce n'est pas comme ça qu'on résout une équation-produit : tu n'en as pas fait l'an dernier ?
La justification de la méthode se résume dans cette Condition nécessaire et Suffisante :
Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.
Toi, tu as un produit de 3 facteurs :
* $a$
* $(x_1-x_2)$
* $(x_1+x_2+\frac b a)$
@+
leo0
$(x_1-x_2) [a(x_1+x_2)+b] = 0 <=> (x_1-x_2) =0 $ ou $ [a(x_1+x_2) +b] = 0$
leo0
$a (x_1 - x_2) (x_1+x_2 + \frac{b}{a}) = 0 <=> a =0 $ ou $ (x_1-x_2) = 0 $ ou $x_1+x_2 +\frac{b}{a}= 0$
leo0
$x_1 = x_2$
$a(x_1+x_2) + b = 0$
$a(x_2 + x_2) = -b$
$a(2 x_2) = - b$
$2x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_2 = -\frac{b}{a} * \frac{1}{2}$ <=> $x=\frac{-b}{2a}$
yoshi
Aaaah ! Quand même... (post #65)
Tu avances !
Maintenant, tu dois éliminer 2 des 3 possibilités et dire pourquoi (et pas : pour n'en garder qu'une ou parce que je n'en veux pas... Il y a une bonne raison à chaque fois)
[EDIT]
Post #66 : tu t'éloignes !
leo0
(post 66) c'était pour m'amuser un peu
leo0
$a = 0$ est exclu
dans ce cas $f = bx + c $ est une fonction affine
ainsi, il me reste deux facteurs
$(x_1 - x_2) $
$(x_1+x_2 +\frac{b}{a})$
yoshi
Oui !
Maintenant il y a un mot dans mon résumé post #62 qui te permet d'éliminer une 2e possibilité.
Au passage :
a = 0 est exclu
c'est aussi pour cette raison que tu as le droit d'écrire [tex]\frac b a[/tex]..
@+
leo0
$x_1 - x_2 = 0 <=> x_1 = x_2 $
ce qui n'est pas possible puisque l'énoncé nous dit : deux points distincts de la parabole, donc les abscisse de ces deux points ne sont pas égaux
ainsi : $ x_1+x_2 +\frac{b}{a} = 0 <=> x_1+x_2 = \frac{b}{a}$
yoshi
Voilà !
Maintenant, il ne te reste plus que :
[tex]x_1+x_2+\frac b a = 0[/tex]
Maintenant, ouvre les yeux et regarde bien, tu veux arriver à ça :
[tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
Que vas-tu faire ?
@+
leo0
$x_1+ x_2 + \frac{b}{a}=0 <=> x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
puis multiplier chaque membre par 1/2
yoshi
Et voilà, c'est fini !
Tu vois combien savoir lire un énoncé et observer les formes, les structures, c'est très très important...
Je disais à mes zouaves : il y a 4 verbes fondamentaux en maths, lire, observer, comparer et déduire...
@+
leo0
oui, mais j'ai pas trop compris pourquoi on multiplie chaque facteur par 1/2
très franchement, c'est parce que tu m'as guidé, sans quoi... je voie pas pourquoi on multiplie par 1/2
aussi (post 61) j'avais trouvé un produit de 3 facteurs, (regarde)
en suite j'avais mis $x_1=x_2$ (mais j'ai pas justifié que ce sont deux points distincts )
yoshi
Salut,
Ça te crève les yeux !
Encore une histoire d'observation, de comparaison et e conclusion.
J'observe bien :
* la solution de [tex]x_1+x_2+\frac b a =0[/tex] c'est à dire [tex]x_1+x_2=-\frac b a[/tex]
* J'observe et je compare avec ce qui est attendu : [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
Et je conclus que j'ai trouvé la somme des abscisses et qu'on me demande la moyenne et donc qu'il faut que je divise par 2 (les deux membres)
Moi, j'arrivais à :
[tex]a(x_1+x_2)+b=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a(x_1+x_2)=-b[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x_1+x_2=-\dfrac b a[/tex]
@+
leo0
Tu as été un bon coach tout à l'heure
Vas-y, résous-là..
il y a quelque chose à voir et tu ne l'as pas vu ..
etc...
On m'a rarement encouragé comme ça ( j'ai aprécié )
Excellente soirée !!!!!
yoshi
Bonjour,
C'est gentil mais, il n'y avait là rien d'extraordinaire :
Vas-y, résous-là.. : bin, il y avait une équation-produit à résoudre, et tu ne te décidais pas, alors je t'ai poussé !
il y a quelque chose à voir et tu ne l'as pas vu . oui, et c'était vrai, non ?
Je maintiens que cette façon de montrer la propriété était bien moins compliquée que les deux premières démonstrations que je t'en ai données : peu de calculs (et pas compliqués...) et un peu de raisonnement dans la résolution de l'équation-produit !
J'espère que tu as quand même la sensation de progresser...
Bien, cela dit, je n'en ai pas fini avec toi, il reste ce morceau du problème en suspens :
5. Représenter graphiquement les variations de la fonction g telle que à tout $x$ de $\mathbb{R}$ on fait correspondre [tex]g(x)=|-x+1|[/tex]
6. Lire graphiquement les abscisse de l'intersection des deux demi-droites précédentes avec $C_f$
7. En utilisant la forme canonique obtenue au 3. retrouver algébriquement les solutions de l'équation [tex]f(x)=|-x+1|[/tex]
Voir page 1, post #1.
@+
leo0
Bonjour Yoshi
Les deux cas à étudier sont
si -x + 1 < 0 c'est à dire -x +1 + (-1)< 0 + (-1) <=> -x < - 1 <=> x > 1
dans ce cas |-x+1| = -(-x +1) = x - 1
j'applique la règle si la quantité dans la valeur absolue est négative, alors |x|=-x
ici, c'est si la quantité dans |-x+1| est négative alors |-x+1| = - (-x+1), c'est - entre parenthèse
si -x + 1 > 0 c'est à dire -x + 1 > 0 <=> -x + 1 + (-1) > -1 <=> -x > - 1 <=> x < 1
dans ce cas |-x + 1| = -x + 1
|x| c'est la distance entre x et 0 , c'est x - 0
|-x + 1| c'est la distance entre -x et le point d'abscisse 1 sur un axe de graduation
yoshi
Salut,
Oui.
Les deux cas à étudier sont
si -x + 1 < 0 c'est à dire -x +1 + (-1)< 0 + (-1) <=> -x < - 1 <=> x > 1
dans ce cas |-x+1| = -(-x +1) = x - 1
j'applique la règle si la quantité dans la valeur absolue est négative, alors |x|=-x
ici, c'est si la quantité dans |-x+1| est négative alors |-x+1| = - (-x+1), c'est - entre parenthèse
si -x + 1 > 0 c'est à dire -x + 1 > 0 <=> -x + 1 + (-1) > -1 <=> -x > - 1 <=> x < 1
dans ce cas |-x + 1| = -x + 1
|x| c'est la distance entre x et 0 , c'est x - 0
|-x + 1| c'est la distance entre -x et le point d'abscisse 1 sur un axe de graduation
Mais il est largement suffisant de faire comme suit.
Deux cas sont à distinguer :
1. Cas où [tex]-x+1<0[/tex] Alors x>1.
Et |-x+1|=-(-x+1)=x-1
Donc pour [tex]x \in [1\,;\,+\infty[[/tex] la représentation graphique de y=|-x+1| est la demi-droite d'origine le point de coordonnées (1 ; 0) de coefficient directeur 1 et d'ordonnée à l'origine -1...
2. etc...
@+