Ce site est optimisé pour être consulté depuis un navigateur moderne dans lequel JavaScript est activé.

Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

leo0

$x = k <=> \left(x + \frac{b}{2a}\right)² = 0$

yoshi

Bonsoir,

Tu n'as compris ce que je t'ai demandé...
L'équation que je t'ai demandé d'écrire et qui ressemble à [tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0[/tex] en utilisant $x$ et $k$ c'est [tex](x+k)^2=0[/tex]
Donc tu vas compléter :
[tex]x=\cdots\;\Leftrightarrow\;(x+k)^2=0[/tex]
Tu vas en faire la preuve dans les deux sens :
1. [tex]x=\cdots\;\Rightarrow\; (\cdots+k)^2= (\cdots)^2=0[/tex]
2. Dans l'autre sens : [tex](x+k)^2=(\cdots+\cdots)(\cdots+\cdots)[/tex]
Et tu résous l'équation-produit (comme on dit en 3e) : [tex](\cdots+\cdots)(\cdots+\cdots)=0[/tex] et tu vois qu'il n'y a en fait qu'une solution.

Donc, maintenant tu complètes :
[tex]x=-\dfrac{b}{2a}\;\Leftrightarrow\; (\cdots+\cdots)^2=0[/tex]

Je ne te cache pas que j'enfonce une porte ouverte...

Maintenant il doit être évident que :
la plus petite valeur de [tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2[/tex] est 0 lorsque [tex]x = -\dfrac{b}{2a}[/tex]...
Plus petite valeur parce que [tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2[/tex] ne peut pas être négatif...

Demain, je reverrai avec toi pourquoi on peut ensuite conclure que[tex] f(x)=ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right]=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex] passe par un extremimm pour [tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex]

@+

leo0

oK
je vais lire ce que tu m'as posté

Bonne soirée et à demain

leo0

$(x+k)² = 0$

x²+2 .k .x + k² = 0

x (x + 2 k + k²/x) = 0

x = - (x + 2k + k²/x)

x = -x - 2 k - k²/k

yoshi

Bonjour,

Je souhaitais que tu répondes à toutes mes questions que tu complètes tous les [tex]\cdots[/tex]

Je vois que tu as oublié ta classe de 3e...

(x+k)²=0

x²+2 .k .x + k² = 0

x (x + 2 k + k²/x) = 0

x = - (x + 2k + k²/x)

x = -x - 2 k - k²/k

Ça, c'est tout simplement horrible !...
Qu'est-ce qu'on t'a répété, répété, répété... en 3e ? Surtout ne développez pas !
Et toi, tu fais quoi là :
(x+k)^2=0
[tex]x^2+2 .k .x + k^2 = 0[/tex]
(...)
x = -x - 2 k - k²/k Là, tu n'as pas fini..
Si je termine à ta place, je dois partout remplacer x par -k et pas seulement au dénominateur :
-k=-k-2k-k qui nous amène à -k=-4k soit k=0.
Donc là tu réponds [tex](x+k)^2[/tex] si [tex]k=0[/tex] ce qui n'est vrai que si x aussi est nul...
C'est une autre erreur !
L'erreur est ici :

x (x + 2 k + k²/x) = 0
(sur la ligne ci-dessous)
x = - (x + 2k + k²/x)

La ligne en rouge serait vraie si la précédente était x+ (x + 2 k + k²/x) = 0 alors que là c'est $x \times (x + 2 k + k²/x) = 0$
En outre, laisse tomber les points, tu alourdis inutilement l'écriture.... Je dirais comme ça sans réfléchir plus : le . désigne une multiplication seulement entre deux vecteurs...

Donc comment fait-on ?
Rappel.
En 3e (exercice classique de Brevet des Collèges)
Résoudre l'équation[tex](x-3)(2x+5)=0[/tex]
Solution
Pour que le produit [tex](x-3)(2x+5)[/tex] soit nul, il faut et il suffit que $x-3=0$ ou $2x+5=0$
[tex]x-3=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
$x=3$

[tex]2x+5=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2x=-5[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x=-\dfrac 5 2[/tex]
Et là, on peut conclure en s'exprimant de deux façons différentes :
* L'équation [tex](x-3)(2x-5)=0[/tex] a deux solutions $x=3$ et $ x=-\dfrac 5 2$

* L'ensemble des solutions de l'équation [tex](x-3)(2x-5)=0[/tex] est [tex]S={-\dfrac 5 2, 3}[/tex]
(Laquelle choisir ? C'est simplement une affaire de goût, parce que les deux sont équivalentes).

Donc je reprends ce que je t'ai demandé :

yoshi wrote:Tu n'as compris ce que je t'ai demandé...
L'équation que je t'ai demandé d'écrire et qui ressemble à [tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0[/tex] en utilisant $x$ et $k$ c'est [tex](x+k)^2=0[/tex]
Donc tu vas compléter :
[tex]x=\cdots\;\Leftrightarrow\;(x+k)^2=0[/tex]
Tu vas en faire la preuve dans les deux sens :
1. [tex]x=\cdots\;\Rightarrow\; (\cdots+k)^2= (\cdots)^2=0[/tex] ---> à compléter
2. Dans l'autre sens : [tex](x+k)^2=(\cdots+\cdots)(\cdots+\cdots)[/tex] ---> à compléter
Et tu résous l'équation-produit (comme on dit en 3e) : [tex](\cdots+\cdots)(\cdots+\cdots)=0[/tex] (à compléter)
et tu vois qu'il n'y a en fait qu'une solution.

Donc, maintenant tu complètes :
[tex]x=-\dfrac{b}{2a}\;\Leftrightarrow\; (\cdots+\cdots)^2=0[/tex] --> à compléter

Je ne te cache pas que j'enfonce une porte ouverte...

Je pense qu'à 21 h 34, tu n'avais plus les idées assez claires pour me répondre, tu aurais dû attendre aujourd'hui et aller dormir.

@+

leo0

Bonjour Yoshi

pour trouver une équation qui ressemble (à ce que tu as écris )
pour trouver une équation qui ressemble à $(x +\frac{b}{2a})²=0$ en utilisant x et k

$(x+\frac{b}{2a})² = 0$ <=> $(x+k)² = 0$

Factorisation

$(x + k)² = 0 $ <=> $(x + k)(x + k) = 0$

yoshi

Re,

As-tu compris les erreurs que je je t'ai signalées ?

Tu écris :
[tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0 <=> (x+k)^2=0[/tex]
Il n'y a pas d'équivalence logique entre les deux.
Si tu m'écris :
[tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0[/tex]
est de la forme
[tex](x+k)^2=0[/tex]

Pour qu'il y ait équivalence logique (c'est à dire l'un implique l'autre et réciproquement) entre les deux, il aurait fallu compléter ainsi :
[tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}(x+k)^2=0\\text{et }k=\dfrac{b}{2a}\end{cases}[/tex]
Moi j'écris que l'une et l'autre formes (écritures) présentent la même structure : c'est pourquoi j'écris seulement "est de la forme" et que je t'avais dit de trouver une écriture qui ressemblait...

Je reprends à nouveau ce que je t'ai demandé :

yoshi wrote:Tu n'as compris ce que je t'ai demandé...
L'équation que je t'ai demandé d'écrire et qui ressemble à [tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0[/tex] en utilisant $x$ et $k$ c'est [tex](x+k)^2=0[/tex]
Donc tu vas compléter :
[tex]x=\cdots\;\Leftrightarrow\;(x+k)^2=0[/tex]
Tu vas en faire la preuve dans les deux sens :
1. [tex]x=\cdots\;\Rightarrow\; (\cdots+k)^2= (\cdots)^2=0[/tex] ---> à compléter
2. Dans l'autre sens : [tex](x+k)^2=(\cdots+\cdots)(\cdots+\cdots)[/tex] ---> à compléter
Et tu résous l'équation-produit (comme on dit en 3e) : [tex](\cdots+\cdots)(\cdots+\cdots)=0[/tex] (à compléter)
et tu vois qu'il n'y a en fait qu'une solution.

[tex](x+2)^2=0\quad \Leftrightarrow\quad (x+k)(x+k)=0[/tex]
Maintenant tu dois donner la solution (double) : ......

Et la suite après.

Au passage quand on en aura fini avec ça, je te guiderai pour la démonstration de S, sommet de la parabole, [tex]x_S=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex], je l'ai trouvée hier soir dans mon lit...

@+

leo0

avec $ k = \frac{b}{2a}$

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)² = 0$ <=> $(x + k)² = 0$

Ai-je le droit d'écrire cela ?

yoshi

Re,

Oui.
Mais en quoi ma présentation te dérange-t-elle ?

@+

leo0

simplement pour savoir si je peux présenter de cette façon ?

leo0

$x + k² = 0 $
Factorisation

$x+ k² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0 $
là, je reconnais une équation produit

$x+k²=0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x+k = 0$
et là, je dis : l'équation produit a une seule solution $x = - k$

leo0

je ne dois pas écrire

$x + k² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x + k = 0 $ ou $x + k = 0 <=> x = - k$

leo0

$x = . . . => ( \cdots+k)² = (. . .)² = 0$ --> à compléter

c'est pas plutôt

$k = . . . => (x+\cdots)² = 0 <=> (. . .)² = 0$

c'est à dire

$k = \frac{b}{2a} => (x+\cdots)² = 0 <=> (x + \frac{b}{2a})² = 0 <=> (x + \frac{b}{2a})(x + \frac{b}{2a})=0 $

yoshi

Salut,

je ne dois pas écrire

$x + k² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x + k = 0 $ ou $x + k = 0 <=> x = - k$

Bon, non parce que ce serait faux... c'est une erreur courante en 3e.
[tex](x+k)^2=x^2+2kx+k^2[/tex]
[tex]x^2+k^2\neq (x+k)^2[/tex] la preuve en image :

[tex]x^2+k^2 = 0[/tex] n'a pas de solution (sauf si k=0 !) et n'est pas factorisable
Écrire que [tex]x^2+k^2 = 0[/tex] c'est affirmer qu'on peut trouver x tel que [tex]x^2=-k^2[/tex] ce qui est une horreur (sauf si k=0)

x=...=>(⋯+k)²=(...)²=0 --> à compléter

c'est pas plutôt

k=...=>(x+⋯)²=0<=>(...)²=0

Non.
Dans un premier temps, je n'utilise que $x$ et $k$...
Je voulais que tu montres que
* [tex]x=-k \Rightarrow (x+k)^2=0[/tex]
* [tex](x+k)^2 =0 \Rightarrow x=-k[/tex]
parce que [tex]\Leftrightarrow[/tex] c'est $\Rightarrow$ et $\Leftarrow$, c'est pour ça que j'ai écrit "dans les deux sens"...

@+

[EDIT]
Si tu y tiens, je te rajoute une étape :
[tex]x=... \Rightarrow (x+k)^2 =0 \Rightarrow (⋯+k)^2=(...)^2=0[/tex] --> à compléter

leo0

$x² - k² = 0 <=> (x+k)(x-k)=0 <=> x+k=0 $ ou $ x - k = 0 <=> x = -k$ ou $x = k$
et l'équation produit $(x+k)(x-k)=0 $a deux solutions $x = -k $ et $x = k$
(ça n'a rien à voir, je sais mais c'est pour voir les deux exemples )

$x² + k² = 0 <=> x² = -k²$
c'est faux
un carré est positif, et je ne peux pas obtenir x² = - quelque chose
c'est bien cela ?

yoshi

Salut,

$x² + k² = 0 <=> x² = -k²$
c'est faux
un carré est positif, et je ne peux pas obtenir x² = - quelque chose
c'est bien cela ?

Oui. Et j'ai ajouté : sauf si k=0...

$x² - k² = 0 <=> (x+k)(x-k)=0 <=> x+k=0 $ ou $ x - k = 0 <=> x = -k$ ou $x = k$
et l'équation produit $(x+k)(x-k)=0 $a deux solutions $x = -k $ et $x = k$

Oui, mais ça ne correspond en rien à ce que je t'ai demandé...
-----------------------------------------------------------------------------
Donc j'avais dit qu'on allait reprendre à partir de :

Si j'écris l'équation de la parabole :
y=[tex]ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right]=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex]
je vois que pour
[tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
l'expression [tex]a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2[/tex] est nulle, c'est même la plus petite valeur de cette expression...

Je prends pour $x$ la valeur [tex]-\dfrac{b}{2a}[/tex]
L'ordonnée $y_e$ du point de la parabole dont l'abscisse est donnée ci-dessus est [tex]y_e=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex]
Je vais rectifier la suite parce que ce n'est pas assez clair et même incorrect (où est-ce que j'avais la tête ?)...
y s'écrit donc :
y=[tex]ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex]

Je considère maintenant la fonction carré $g$ telle que [tex]g(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2[/tex]
1er cas
* si a >0
. $g$ est décroissante pour tout [tex]x \in \left]-\infty\;;\;-\dfrac{b}{2a}\right][/tex]
donc $g(x)$ décroît de $+\infty$ à 0 (g(0)=0) et donc $f(x)=g(x)-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ décroît de $+\infty$ à $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$

. $g$ est croissante pour tout [tex]x \in \left]-\dfrac{b}{2a}\;;\;+\infty\right][/tex]
donc $g(x)$ croît de 0 à $+\infty$ (g(0)=0) et donc $f(x)=g(x)-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ croît de $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ à $+\infty$
J'ai prouvé qu'ici la fonction f donc y passe par un minimum d'abscisse [tex]-\dfrac{b}{2a}[/tex]

2e cas

* si a <0
. $g$ est croissante pour tout [tex]x \in \left]-\infty\;;\;-\dfrac{b}{2a}\right][/tex]
donc $g(x)$ croît de $-\infty$ à 0 (g(0)=0) et donc $f(x)=g(x)-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ croît de $-\infty$ à $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$

. $g$ est décroissante pour tout [tex]x \in \left]-\dfrac{b}{2a}\;;\;+\infty\right][/tex]
donc $g(x)$ dcroît de 0 à $-\infty$ (g(0)=0) et donc $f(x)=g(x)-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ dcroît de $-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ à $-\infty$
J'ai prouvé qu'ici la fonction f donc y passe par un maximum d'abscisse [tex]-\dfrac{b}{2a}[/tex]

Si je rassemble les 2 cas en un seul, je dirais que pour [tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex] on a un extremum de la parabole : [tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex] est donc bien l'abscisse du sommet de la parabole...

C'est plus détaillé et correct maintenant...
Ça te convient mieux ?

@+

leo0

$(x+k)²=0$ (Factorisation)

$(x+k)² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0$
je reconnais une équation produit

$(x+k)² = 0 <=>(x+k)(x+k)=0$
maintenant je donne la double solution

$(x+k)²=0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x+k = 0 <=> x=-k$
ainsi, l'équation produit n'a qu'une seule solution

leo0

Nous sommes parti sur un truc, parce qu'en fait j'avais oublié de mettre la parenthèse à $x + k² = 0 $
je voulais dire : $(x + k)² = 0 $
- - -> je n'ai pas relu ce que j'ai posté
toutes mes excuses !!!!!!!

leo0

tout à l'heure, je voulais dire
je ne dois pas écrire ça :

$(x+k)² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x+k = 0 $ ou $x+ k = 0 <=> x = -k$

yoshi

B'soir,

tout à l'heure, je voulais dire
je ne dois pas écrire ça :

$(x+k)² = 0 <=> (x+k)(x+k)=0 <=> x+k = 0 $ ou $x+ k = 0 <=> x = -k$

Tiens... Et pourquoi donc, tu ne pourrais pas écrire ça ?
C'est parfaitement correct...

Sinon, l'explication revue et corrigée te convient-elle ?

Donc, si oui, voilà ce que je comptais te proposer...
[tex]y=ax^2+bx+c[/tex] est l'équation d'une parabole.
Soient deux points A(x[sub]1[/sub] ; y[sub]1[/sub]) et B(x[sub]2[/sub] ; y[sub]2[/sub]) distincts de cette parabole tels que y[sub]1[/sub]=y[sub]2[/sub].
L'abscisse x[sub]S[/sub] du sommet S de cette parabole est tel que [tex]x_S=\dfrac{x_1+x_2}{2}[/tex]
Je te propose de montrer que [tex]x_S=-\dfrac{b}{2a}[/tex].
Plan :
1. Écrire [tex]y_1[/tex] en fonction de[tex] x_1[/tex] et [tex]y_2[/tex] en fonction de [tex]x_2[/tex]
2. Écrire que [tex]y_2 = y_1[/tex] en utilisant $x_2$ et $x_1$
3. Écrire que [tex]y_2 - y_1=0[/tex]. Réduire l'expression obtenue.
4. Écrire alors l'équation-produit qui en découle.
4. En déduire que [tex]\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}[/tex]

C'est plus simple, que ce qu'on vient de faire : un petit peu de raisonnement (seulement au 4.) et du calcul littéral classique classique...

J'ai fait ça de tête ("à l'aveugle", comme on dit aux échecs, quand joue en tournant le dos à l'échiquier ou les yeux bandés), alors devant ton papier puis face à l'écran, tu ne vas faire d'erreur, s'pas ?

@+

« Page précédente Page suivante »