Ce site est optimisé pour être consulté depuis un navigateur moderne dans lequel JavaScript est activé.

Déterminer graphiquement les variations de f(x) = x² - 4x - 3

leo0

Ave !

Et v'la celui promis..

On considère la fonction f telle que à tout $x$ de $\mathbb{R}$ on fait correspondre [tex]f(x)=x^2-4x-3[/tex]
1. Dans un repère orthonormé (O,I,J), Tracer [tex]C_f[/tex] la courbe représentative de f.
Déterminer graphiquement ses variations.
2. Déterminer graphiquement les abscisses ses points d'intersection de Cf avec la droite d'équation y =2.
3. Ecrire $f(x)$ sous sa forme canonique.
4. En déduire algébriquement les solutions de l'équation $f(x)=2$
5. Représenter graphiquement les variations de la fonction g telle que à tout $x$ de $\mathbb{R}$ on fait correspondre [tex]g(x)=|-x+1|[/tex]
6. Lire graphiquement les abscisse de l'intersection des deux demi-droites précédentes avec $C_f$
7. En utilisant la forme canonique obtenue au 3. retrouver algébriquement les solutions de l'équation [tex]f(x)=|-x+1|[/tex]

Choisis (t'as le droit de faire les deux ! ^_^)....

1. Tracer $C_{f}$ la courbe représentative de $f$.

$\begin{array}
{|c|cccccccccccccccccccc|}
x & -5 & & -4 & & -3 & & -2 & & -1& & 0 & & 1 & & 2 & & 3 & & 4 &
\
f(x) &42 & & 29 & & 18 & & 9 & & 2 & & -3 & & -6& & -7& & -6& &-3 &
\
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
\end{array}$

2.Déterminer graphiquement ses variations.

avec les valeurs du tableau de variation, et bien je peux en déduire que l'image la plus grande est -7
ainsi l'abscisse du sommet de la parabole est x = 2 et l'ordonnée du sommet est -7

comme a est positif, d'après la démonstration des variations d'une fonction de degré 2, on sait que f(x) = ax² + bx + c est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ et croissante sur$ [\alpha;+\infty[$
Par conséquent, je peux dire que f(x) est décroissante sur $]-\infty;-7]$ et croissante sur $[-7;\infty[$

$\begin{array}
{|c|cccccc|}
x & -\infty & & 2 & & +\infty &
\
& \searrow & & & & \nearrow &
\
{f(x)} & & \searrow & -7& \nearrow & &
\end{array}$

yoshi

Salut,

avec les valeurs du tableau de variation, et bien je peux en déduire que l'image la plus grande est -7

Cette déclaration appelle deux remarques :
Tu n'étais pas obligé de faire un tableau de variation (un p'tit coup de Geogebra, non ?) et surtout de t'appuyer sur lui pour répondre (et de le dire !!!).
Non, il fallait dire : sur mon graphique je vois que...
l'image la plus grande est -7 : si tu dis ça à ton prof, il va s'étouffer d'indignation !
Donc d'après toi : -7>45 ???? parce que c'est comme ça que ça peut se traduire...

comme a est positif, d'après la démonstration des variations d'une fonction de degré 2, on sait que f(x) = ax² + bx + c est décroissante sur [tex]]−infty; \alpha][/tex] et croissante sur [tex][\alpha;+\infty[[/tex]
Précise ce que vaut $\alpha$...
Mais, tu t'appuies sur ton cours là, je t'ai demandé : graphiquement...

@+
Sinon, c'est juste...

leo0

Bonjour Yoshi

J'ai une fonction de degré $2$ qui est de type $f(x) = ax²+ bx + c$, j'en déduis que la courbe représentative est une parabole

Maintenant, sans utiliser Géogébra, j'ai besoin d'un tableau de valeurs pour pouvoir la tracer, d'accord ?
et là, pour pouvoir trouver l'extremum de la courbe qui est minimum car a > 0, je dois trouver l'image $y=f(x)$ la plus petite
c'est bien cela ?
mon raisonnement est-il correct ou non?

leo0

Dois-je prendre un maximum de valeurs possible de façon à trouver "la valeur" qui correspond à l'abscisse du sommet ?

yoshi

Re,

Maintenant, sans utiliser Géogébra, j'ai besoin d'un tableau de valeurs pour pouvoir la tracer, d'accord ?
et là, pour pouvoir trouver l'extremum de la courbe qui est minimum car a > 0, je dois trouver l'image y=f(x) la plus petite

Oui pour construire une courbe (à la main), tu as besoin d'un tableau se valeurs.
Mais quel est le but de toute question du type "Déterminer graphiquement...", ce n'est pas de voir si tu es capable de retrouver un extremum dans un tableau de valeurs, mais de voir si tu sais "lire" une courbe.
C'est si vrai, que dans les examens ou les concours, on joint (très) souvent le tracé de la courbe avec le sujet.

En cela, j'ai constaté que dans ce type de questions, tu étais têtu : tu fais soit référence à ton cours, soit aux calculs.
A contrario, lorsqu'il n'est pas précisé explicitement "graphiquemenr", ou qu'il est dit "par le calcul" ou "algébriquement" etc... tu ne dois pas faire référence dans ta réponse à la courbe donnée ou que tu as tracée...
Ceci dit, celui qui est malin, se sert de sa courbe pour orienter ses calculs ou voir si ce qu'il fait est cohérent ou pas, mais ne le dit pas...^_^
Sinon, à quoi bon avoir une calculette graphique ?

@+

leo0

Sur le graphique, je vois que la parabole est décroissante puis croissante, ainsi la courbe est décroissante jusqu'au point d'ordonnée -7, puis après ce point, la courbe est croissante

leo0

2. Déterminer graphiquement les abscisses des points d'intersection de $C_{f}$ avec la droite d'équation $y = 2$.

j'ai tracé la parabole d'équation $y = x²- 4x - 6$
je la coupe avec la droite d'équation $y = 2$

puisque je veux f(x) = 2 , je m'aide du support visuel de la courbe pour répondre

ainsi, je vois sur le graphique que la droite est parallèle à l'axe des abscisse et que celle-ci coupe la courbe en deux points dont les abscisses sont $x = - 1$ et $x = 5$
Donc, je l'ai fait en raisonnant, c'est bien cela ?

3. Ecrire f(x) sous sa forme canonique.

Pour des raisons de symétrie, l'absisse du sommet de la parabole est la moyenne de deux points de la courbe ayant meme ordonnée
$\frac{x_{1}+x_{2}}{2} = \frac{-1+5}{2}= 2$
l'abscisse du sommet est 2

comme toute fonction de degré 2 de type f(x) = x² + bx + c peut s'écrire sous la forme $f(x) = (x - \alpha)²+\beta $
où $\alpha$ est l'abscisse et $\beta$ est l'ordonnée

J'en déduis $f(x) = x² - 4x - 6 = (x - 2)² - 7$

4. En déduire algébriquement les solutions de l'équation $f(x) = 2$.

Puis-je faire référence à la partie du cours : x² = k
avec : k > 0

et dans ce cas résoudre l'équation x² = k revient à résoudre l'équation x² - k = 0

Puis-je en déduire que le k, ici c'est 2 ?

Par conséquent, résoudre f(x) = 2
résoudre l'équation $x² - 4x - 3 = 2$ revient à résoudre l'équation $x² - 4x - 3 - 2 = 0 $

$<=> (x - 2)² - 4 - 5 = 0 <=> ((x-2)+\sqrt{9})((x-2)-\sqrt{9}) = 0 <=> (x - 2 + 3) (x - 2 - 3) = 0$

$ <=> (x + 1) (x - 5) = 0 <=> x + 1 = 0 $ou $x - 5 = 0 <=> x= -1$ ou $x = 5$

On obtient les deux solutions x = -1 ou x = 5

---------------------------------------------------------------------------------
je peux aussi préciser dans ma copie que $x² - 4x $ est le début d'une identité remarquable

$(x - 2)² = x² - 4x + 4 <=> x² - 4x - 3 = (x - 2)² - 4 -3 $
---------------------------------------------------------------------------------

yoshi

Bonjour,

comme toute fonction de degré 2 de type f(x) = x² + bx + c peut s'écrire sous la forme $f(x) = (x - \alpha)²+\beta $
où $\alpha$ est l'abscisse et $\beta$ est l'ordonnée

J'en déduis $f(x) = x² - 4x - 6 = (x - 2)² - 7$

Pärce que ce n'est pas aussi le cas de [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] ?
[tex]ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac b a x +\dfrac c a\right)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a \right][/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right][/tex]

Ce qui prouve la propriété de ton cours (inutile de la redémontrer, bien sûr, seulement en être capable au cas où..) qui donne [tex]\alpha=-\dfrac{b}{2a}[/tex], abscisse du sommet, sana aller chercher cette histoire de moyenne...

@+

leo0

Bonjour Yoshi

oui, mais d'où on peut affirmer que -b/2a est l'abscisse du sommet ?
( je suis têtu )

yoshi

Salut,

Si être têtu, c'est vouloir comprendre (ou arriver au bout d'un exercice qui te te cause des soucis), c'est une qualité...
Bin tu vois, moi, ne ne connaissais ta méthode de la moyenne, je ne l'avais encore j'amais vue...
Et si la justification que tu en donnes est bien évidemment exacte, mais pour l'instant, je ne vois pas trop comment prouver par le calcul que c'est toujours vrai, quels que soient a, b et c...

Si j'écris l'équation de la parabole :
y=[tex]ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right]=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex]
je vois que pour
[tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex]
l'expression [tex]a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2[/tex] est nulle, c'est même la plus petite valeur de cette expression...
Maintenant il y a deux cas
- soit [tex]y_e=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex] est négatif et alors $y_e$ est la plus petite valeur de y, c'est un minimum,

- soit [tex]y_e=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex] est positif et alors $y_e$ est la plus grande valeur de y, c'est un maximum.

Si je rassemble les 2 cas en un seul, je dirais que pour [tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex] on a un extremum de la parabole : [tex]x=-\dfrac{b}{2a}[/tex] est donc bien l'abscisse du sommet de la parabole...

Autre façon de voir les choses.
tu as appris que l'on pouvait écrire :
[tex]f(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta[/tex]
Moi j'ai écrit [tex]f(x)=ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right][/tex]
Tu ne t'es pas aperçu que [tex]\alpha=-\dfrac{b}{2a}[/tex] ?

Et tu as pourtant assez bataillé pour montrer que si :
* a<0, quel que soit [tex]x\leqslant \alpha[/tex], f est croissante puis décroissante pour [tex]x\geqslant \alpha[/tex] et que donc pour [tex]x =\alpha[/tex], f passe par un maximum
* a>0, quel que soit [tex]x\leqslant \alpha[/tex], f est dcroissante puis décroissante pour [tex]x\leqslant \alpha[/tex] et que donc pour [tex]x =\alpha[/tex], f passe par un minimum.
Ce que je rfésume en disant : quel que soit $a$ ($a\neq 0$) positif ou négatif, f passe par un extremum d'abscisse $\alpha$ et je te le répète [tex]\alpha =-\dfrac{b}{2a}[/tex]...

[Hors programme]
Si tu fais des Maths l'an prochain, tu verras que cette forme canonique [tex]f(x)=ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right][/tex] aura autre chose à t'apprendre :
tu ne peux factoriser $ax^2+bx+c$ que si [tex]b^2-4ac\geqslant 0[/tex].
Vois-tu pourquoi ?
Et que si $f(x)$ est factorisable c'est que l'équation $f(x)=0$
* a une seule solution (double) si [tex]b^2-4ac=0[/tex]
* a deux solutions distinctes si [tex]b^2-4ac>0[/tex]
L'expression $b^2-4ac$ sera nommée discriminant et désignée par le symbole $\Delta$
Mais ceci pour piquer ta curiosité : interdiction de t'en servir cette année...

@+

leo0

$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2}- \frac{b^2-4ac}{4a}$

$a\left(-\frac{b}{2a} + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}$

leo0

Ai-je le droit d'écrire ça ?

yoshi

Re,

Pourquoi non .?
Tu as bien le droit de donner n'importe quelle valeur à $x$ dans une fonction carré...
Mais la bonne question, c'est pour quoi faire ? Pourquoi veux-tu écrire ça ?

@+

leo0

la raison est la suivante : j'ai du mal à comprendre ton message précédent
alors, je le revoie en détail..

leo0

$a\left(x+\frac{b}{2a}\right) =0 <=> a = 0 $ ou $\left(x + \frac{b}{2a}\right) = 0$

yoshi

Re,

Non pas a = 0, je l'ai bien précisé mais j'ai pensé que tu comprendrais...
a=0 est exclu, parce que dans ce cas [tex]f(x)=bx+c[/tex] est une fonction affine et que tout ce qu'on raconte depuis le début, n'existe pas...

A part ça qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
La justification de l'abscisse du sommet ?
Si oui, je t'en ai proposé deux : laquelle et pourquoi ? (donne-moi l'endroit où tu ne comprend plus)

@+

leo0

oui, c'est la justification du sommet
et c'est la première que je ne comprends pas
Peux-tu détailler ? s'il te plait ( voir en me faisant chercher un peu ... )

leo0

pour x = - $\frac{b}{2a}$
l'expression $a(x + \frac{b}{2a})² $ est nulle

---------------------------------------------------------------------------------------
je m'appuie sur cet exemple, ce n'est peut être pas un bon exemple mais c'est celui qui me vient à l'idée

x² = k <=> x² - k = 0 <=> (x+√k)(x-√k) = 0 <=> x+ √k = 0 ou x -√k = O <=> x = - √k ou x = √k
---------------------------------------------------------------------------------------

ainsi : l'expression $a \left(x +\frac{b}{2a} \right)² $ est nulle

je le traduis par : $a \left(x +\frac{b}{2a} \right)² = 0$

yoshi

Ren

Alors je vais essayer de détailler davantage...

Es-tu d'accord là dessus :
y=[tex]ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right]=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}[/tex]
Je pense que oui.

Dans ce cas,
es-tu d'accord que la plus petite valeur de [tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2[/tex] est atteinte pour [tex]x =-\dfrac{b}{2a}[/tex] et que alors [tex]\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0[/tex] ?
Hmmm... c'est là que ça coince ?
C'est pour ça que tu écris :

pour x = - $\frac{b}{2a}$
l'expression $a(x + \frac{b}{2a})² $ est nulle

---------------------------------------------------------------------------------------
je m'appuie sur cet exemple, ce n'est peut être pas un bon exemple mais c'est celui qui me vient à l'idée

x² = k <=> x² - k = 0 <=> (x+√k)(x-√k) = 0 <=> x+ √k = 0 ou x -√k = O <=> x = - √k ou x = √k
---------------------------------------------------------------------------------------

Tu te compliques la vie pour rien et en plus tu fais fausse route...
Parce qu'ici, ce n'est pas ce cas-là !
Où vois-tu écrit quelque chose comme [tex]x^2-k =0[/tex] ?
Regarde mieux : en utilisant x et k récris-moi une équation qui ressemble à ce que j'ai écrit...

@+

leo0

c 'est x qui est mis à la place de $ \left(x+ \frac{b}{2a}\right)²$

et k = 0

Page suivante »