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Recherche d'original - Bibm@th.net

Exercice 1 - Recherche d'original ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Retrouver l'original des transformées de Laplace suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \frac1{(p+1)(p-2)}&\quad&\mathbf 2.\ \frac{-1}{(p-2)^2}\\ \mathbf 3.\ \frac{5p+10}{p^2+3p-4}&\quad&\mathbf 4.\ \frac{p-7}{p^2-14p+50}\\ \mathbf 5.\ \frac{p}{p^2-6p+13}&\quad&\mathbf 6.\ \frac{e^{-2p}}{p+3} \end{array}$$

Indication

Corrigé

On décompose la fraction en éléments simples, ie on cherche $a$ et $b$ tels que $$\frac{1}{(p+1)(p-2)}=\frac a{p+1}+\frac b{p-2}.$$ On trouve $a=-1/3$ et $b=1/3$. Il vient que l'original recherché est $$\frac {-1}3 e^{-t}\mathcal U(t)+\frac 13e^{2t}\mathcal U(t).$$
Posons $G(p)=\frac 1{p-2}$ et $F(p)=\frac{-1}{(p-2)^2}.$ Alors $G'(p)=F(p)$. Or, l'original de $G$ est la fonction $e^{2t}\mathcal U(t)$. Donc, par la formule de multiplication par $t$, on en déduit que l'original de $F$ est la fonction $-te^{2t}\mathcal U(t)$.
Le dénominateur se factorise en $(p+4)(p-1)$. On décompose la fraction en éléments simples en l'écrivant sous la forme $$\frac a{p+4}+\frac b{p-1}=\frac{(a+b)p+(4b-a)}{p^2-3p+4}.$$ Par identification, on a le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} a+b&=&5\\ -a+4b&=&10\\ \end{array}\right.$$ qui donne facilement $a=2$ et $b=3$. Ainsi, la fonction est $$\frac 2{p+4}+\frac 3{p-1}.$$ L'original recherché est la fonction $$2e^{-4t}\mathcal U(t)+3e^t\mathcal U(t).$$
Le discriminant du trinôme du second degré au dénominateur est négatif, donc il n'admet pas de racines. On le met sous forme canonique en écrivant $$\frac{p-7}{p^2-14p+50}=\frac{p-7}{(p-7)^2+1}.$$ L'original de la fonction $\frac{p}{p^2+1}$ est la fonction $\cos t\mathcal U(t)$. Tenant compte de la formule de multiplication par $e^{at}$, l'original recherché est $$\cos te^{7t}\mathcal U(t).$$
Le discriminant du trinôme du second degré au dénominateur est négatif, donc il n'admet pas de racines. On le met sous forme canonique en écrivant \begin{eqnarray*} \frac{p}{p^2-6p+13}&=&\frac{p}{(p-3)^2+4}\\ &=&\frac{p-3}{(p-3)^2+2^2}+\frac{3}{(p-3)^2+2^2}\\ &=&\frac{p-3}{(p-3)^2+2^2}+\frac{3}2\times\frac 2{(p-3)^2+2^2}. \end{eqnarray*} En raisonnant comme à la question précédente, on trouve que l'original recherché est la fonction $$\cos(2t)e^{3t}\mathcal U(t)+\frac 32\sin(2t)e^{3t}\mathcal U(t).$$
L'original de $\frac 1{p+3}$ est la fonction $e^{-3t}\mathcal U(t)$. Pour trouver l'original de la fonction $\frac{e^{-2p}}{p+3}$, on utilise le théorème du retard et on trouve que l'original est $$e^{-3(t-2)}\mathcal U(t-2).$$