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Un produit - Bibm@th.net

Exercice 1 - Un produit ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $$u_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)...\left(1+\frac{n-1}{n^2}\right)\left(1+\frac{n}{n^2}\right).$$ On pose $v_n=\ln(u_n)$.

Montrer, pour tout $x\geq 0$, l'inégalité $$x-\frac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x.$$
En déduire que $$\frac{n+1}{2n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}\leq v_n\leq \frac{n+1}{2n}.$$ On admettra que $$\sum_{k=1}^n k^2\,=\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
Montrer que $(v_n)$ converge, et préciser sa limite.
Montrer que $(u_n)$ converge, et préciser sa limite.

Indication

Corrigé

Posons $f(x)=x-\ln(1+x)$. On a $f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\geq 0$ pour $x\geq 0$. La fonction $f$ est donc croissante sur $[0,+\infty[$. En particulier, on a $f(x)\geq f(0)=0$, ce qui donne la première inégalité $\ln(1+x)\leq x$. De même, on pose $g(x)=(x-x^2/2)-\ln(1+x)$. $g$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et on a $g'(x)=1-x-\frac{1}{1+x}=\frac{-x^2}{1+x}\leq 0$ pour $x\geq 0$. La fonction $g$ est donc décroissante sur $[0,+\infty[$ et on a $g(x)\leq g(0)=0$ pour $x\geq 0$, ce qui donne l'autre inégalité $x-x^2/2\leq \ln(1+x)$.
On a, puisque $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$, $$v_n=\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)+\ln\left(1+\frac{2}{n^2}\right)+\dots+\ln\left(1+\frac{n}{n^2}\right).$$ On utilise ensuite l'inégalité $\ln(1+x)\leq x$ pour trouver \begin{eqnarray*} v_n&\leq&\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\dots+\frac{n}{n^2}\\ &\leq &\frac{1}{n^2}(1+2+...+n)\\ &\leq& \frac{1}{n^2}\times\frac{n(n+1)}{2}\\ &\leq&\frac{n+1}{2n} \end{eqnarray*} où on a utilisé $\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}.$ Pour l'autre inégalité, on procède de façon identique en utilisant cette fois $\ln(1+x)\geq x-x^2/2$. On trouve \begin{eqnarray*} v_n&\geq&\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\dots+\frac{n}{n^2} -\left(\frac{1^2}{2n^4}+\frac{2^2}{2n^4}+\dots+\frac{n^2}{2n^4}\right) \end{eqnarray*} La première partie a déjà été calculée auparavant. Pour la seconde, on utilise le rappel de l'énoncé. \begin{eqnarray*} v_n&\geq& \frac{n+1}{2n}-\frac{1}{2n^4}\left(1^2+2^2+\dots+n^2\right)\\ &\geq& \frac{n+1}{2n}-\frac{1}{2n^4}\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &\geq&\frac{n+1}{2n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}. \end{eqnarray*}
On sait que $(n+1)/(2n)\to 1/2$ tandis que $(n+1)(2n+1)/(12n^3)\to 0$ (quotient d'un polynôme de degré 2 et d'un polynôme de degré 3). $(v_n)$ est donc encadré par deux suites qui tendent toutes deux vers $1/2$. Par le théorème d'encadrement des limites (ou théorème des gendarmes), $(v_n)$ converge elle-même vers $1/2$.
On a $u_n=\exp(v_n)$. Par le théorème de composition des limites, $(u_n)$ est convergente, de limite $\exp(1/2)$.