Enoncé 
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable telle que $f'$ ne s'annule pas.
Soit $M$ un point de la courbe représentative $C_f$ de $f$ dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
On note $T$ le point d'intersection de la tangente à $C_f$ au point $M$ avec l'axe $(O,\vec i)$ et $P$ le projeté orthogonal
de $M$ sur l'axe $(O,\vec i)$. On appelle vecteur sous-tangent à $C_f$ en $M$ le vecteur $\overrightarrow{TP}$.
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to \mathbb R$ (dérivables, et dont la dérivée ne s'annule pas) dont les vecteurs sous-tangents en tout point de
$C_f$ sont égaux à un vecteur constant.
Corrigé 
Soit $M=(t,f(t))$ un point de $C_f$. Le point $P$ a pour coordonnées $(t,0)$. La tangente à $C_f$ en $M$ a pour équation
$$y-f(t)=f'(t)(x-t).$$
L'intersection de la tangente avec l'axe $(O,\vec i)$ a pour coordonnées $(a,0)$ où $a$ vérifie
$$-f(t)=f'(t)(a-t)\iff a=t-\frac{f(t)}{f'(t)}.$$
Le vecteur $\overrightarrow{TP}$ a donc pour coordonnées $\left(\frac{f(t)}{f'(t)},0\right)$. On cherche les fonctions $f$ pour lesquelles ce vecteur est constant, c'est-à-dire pour lesquelles il existe $k\in\mathbb R$ de sorte que $\frac{f(t)}{f'(t)}=k$. $k$ ne peut pas être nul, sinon la fonction $f$ serait identiquement nulle et sa dérivée aussi. Posons $\lambda=1/k$. Alors on cherche les fonctions $f$ solutions de l'équation différentielle $f'-\lambda f=0$. Ces fonctions sont de la forme $f(t)=Ce^{\lambda t}$ avec $C\neq 0$ pour la même raison que ci-dessus. On a donc prouvé que les fonctions solutions sont à rechercher parmi les fonctions $f(t)=Ce^{\lambda t}$ avec $C,\lambda\in\mathbb R^*$.
Réciproquement, on vérifie facilement que ces fonctions sont solutions (il ne faut pas oublier de traiter la réciproque, ou alors il faut faire très attention de raisonner plus haut par équivalence).
