Théorème d'Egorov - Bibm@th.net

Soit $(X,\mathcal B,m)$ un espace mesuré fini (ie tel que $m(X)<+\infty$). Soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables $f_n:X\to \mathbb C$ et $f:X\to\mathbb C$. On suppose qu'il existe une partie $Y\in\mathcal B$ telle que $(f_n(y))$ tend vers $f(y)$ pour tout $y\in Y$ et $m(X\backslash Y)=0$. Soit enfin $\veps>0$. Le but de l'exercice est de prouver qu'il existe $A\in\mathcal B$ telle que $m(X\backslash A)\leq\veps$ et telle que $(f_n)$ converge vers $f$ uniformément sur $A$.

1. Pour tout entier $k\geq 1$ fixé et tout $n\geq 1$, on pose $B_{n,k}=\bigcup_{j\geq n}\{|f_j-f|>1/k\}$. Montrer que la suite $(m(B_{n,k}))_{n\geq 1}$ est décroissante et tend vers $0$.
2. Soit $\veps>0$ fixé. Construire une suite strictement croissante d'entiers $(n_k)_{k\geq 1}$ telle que $B_\veps=\bigcup_{k\geq 1}B_{n_k,k}$ soit de mesure $m(B_\veps)\leq\veps$.
3. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $A_\veps=B_\veps^c$.