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Critère d'irréductibilité d'Eisenstein - Bibm@th.net

Exercice 1 - Critère d'irréductibilité d'Eisenstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Si $P\in\mathbb Z[X]$, on appelle contenu de $P$, et on note $c(P)$, le pgcd des coefficients de $P$.
  1. Soit $P,Q\in\mathbb Z[X]$ et $p$ un nombre premier. On suppose que $p$ divise tous les coefficients de $PQ$. Montrer que $p$ divise tous les coefficients de $P$ ou tous les coefficients de $Q$.
  2. Soit $P,Q\in\mathbb Z[X]$ et $R(X)=\frac{PQ}{c(P)c(Q)}\in\mathbb Z[X]$. Démontrer que $c(R)=1$. En déduire que l'on a $c(PQ)=c(P)c(Q)$.
  3. Soit $Q$ un polynôme de $\mathbb Z[X]$. On suppose que $Q$ n'est pas irréductible dans $\mathbb Q[X]$. Démontrer qu'il existe deux polynômes $A$ et $B$ de $\mathbb Z[X]$ tels que $Q=AB$, avec $\deg(A)<\deg(Q)$ et $\deg(B)<\deg(Q)$.
  4. Soit $A(X)=a_n X^{n}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb Z[X]$. On suppose qu'il existe un nombre premier $p$ tel que $$p|a_k,\textrm{ pour tout }0\leq k\leq n-1,\ p\not\mid a_n,\ p^2\not\mid a_0.$$ Démontrer que $A$ est irréductible dans $\mathbb Q[X]$.
  5. Démontrer qu'il existe dans $\mathbb Q[X]$ des polynômes irréductibles de tout degré $n\geq 1$.
Indication
Corrigé