Transformée de Fourier et produit de convolution - Bibm@th.net

Exercice 1 - Transformée de Fourier et produit de convolution ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

1. En utilisant la transformée de Fourier, montrer que l'algèbre $L^1(\mtr)$ ne possède pas d'unité, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de fonction $g\in L^1(\mtr)$ telle que $f\star g=f$ pour tout $f\in L^1(\mtr)$.
2. Resoudre dans $L^1(\mtr)$ l'équation $f\star f=f$.

Indication

1. La transformée de Fourier d'une fonction de $L^1(\mathbb R)$ doit tendre vers $0$ en l'infini.

Corrigé

1. Supposons qu'une telle fonction $g\in L^1(\mathbb R)$ existe et soit $f\in L^1(\mathbb R)$. Puisque la transformée de Fourier transforme le produit de convolution en produit de fonctions, on a $$\forall \xi\in\mtr, \hat{f}(\xi)\hat{g}(\xi)=\hat{f}(\xi).$$ Puisque ceci est vrai pour toute fonction de $L^1(\mtr)$ et que pour tout $\xi\in\mathbb R$, il existe une fonction $f$ de $L^1(\mtr)$ telle que $\hat{f}(\xi)\neq 0$, on a $\hat{g}(\xi)=1$ pour tout $\xi\in\mtr$. Maintenant, on sait que la transformée de Fourier d'une fonction de $L^1(\mtr)$ tend vers 0 à l'infini. Il n'y a donc aucune fonction $g$ telle que $\hat{g}(\xi)=1$ pour tout $\xi\in\mtr$.
2. On compose une fois encore par la transformée de Fourier. On a : $$\forall\xi\in\mtr, \hat{f}^2(\xi)=\hat{f}(\xi)\iff \hat{f}(\xi)(1-\hat{f}(\xi))=0.$$ On en déduit que pour tout $\xi\in\mtr$, $\hat{f}(\xi)=0$ ou 1, mais comme $\hat{f}$ est continue, on a forcément $\hat{f}(\xi)=1$ pour tout $\xi$ ou $\hat{f}(\xi)=0$ pour tout $\xi$. Comme auparavant, le cas identiquement égal à 1 est impossible, et donc $\hat{f}(\xi)=0$ pour tout $\xi$. Par injectivité de la transformée de Fourier, on en déduit que $f=0$ presque partout.