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Intégrales de Bertrand - Bibm@th.net

Exercice 1 - Intégrales de Bertrand ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
Pour $\alpha,\beta\in\mathbb R$, on souhaite déterminer la nature de $$\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(\ln x)^\beta}.$$
  1. On suppose $\alpha>1$. En comparant avec une intégrale de Riemann, démontrer que l'intégrale étudiée est convergente.
  2. On suppose $\alpha=1$. Calculer, pour $X>e$, $\int_e^X\frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$. En déduire les valeurs de $\beta$ pour lesquelles l'intégrale converge.
  3. On suppose $\alpha<1$. En comparant à $1/t$, démontrer que l'intégrale étudiée diverge.
Indication
Corrigé