Soit $(y_n)$ une suite de $A$. Si elle prend un nombre infini de fois la valeur $x$, alors elle possède une suite extraite constante égale à $x$, donc convergente dans $A$. Sinon, $y_n$ prend une infinité de fois une valeur différente de $x$. Quitte à considérer une suite extraite, on peut supposer que, pour chaque $n$, $y_n$ est un terme de la suite de départ, d'où $y_n=x_{\varphi(n)}$. On traite deux cas séparément :
- La suite d'entiers $(\varphi(n))$ est bornée : autrement dit, $(y_n)$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs différentes. Clairement, une telle suite admet une sous-suite convergente (il suffit de prendre une valeur qui est prise une infinité de fois) avec une limite dans $A$.
- La suite d'entiers $(\varphi(n))$ n'est pas bornée : on peut alors extraire de $(y_n)$ une sous-suite $(y_{\psi(n)})$ telle que $\varphi\circ\psi(n)$ soit strictement croissante. Mais alors, $y_{\psi(n)}=x_{\varphi\circ\psi(n)}$ converge vers $x$ puisque c'est une suite extraite de $(x_n)$.
Dans tous les cas, on a prouvé que $(y_n)$ admettait une suite extraite convergente : l'ensemble $A$ est compact.
On peut aussi donner une preuve en utilisant la propriété de Borel-Lebesgue, si on connait cette caractérisation des parties compactes des espaces vectoriels normés. Pour cela, on considère un recouvrement de $A$ par une famille d'ouverts $(U_i)_{i\in I}$, et on doit prouver qu'on peut en extraire un sous-recouvrement fini. Soit $i_0$ tel que $x\in U_{i_0}$. Alors, puisque la suite converge vers $x$, il existe un entier $N$ tel que
pour tout $n>N$, on a $x_n\in U_{i_0}$. Soient ensuite $i_1,\dots,i_N$ tels que, pour $j\leq N$, $x_j\in U_{i_j}$. Alors, il est clair que
$U_{i_0}\cup\dots\cup U_{i_N}$ est un recouvrement ouvert de $A$, prouvant que $A$ est compact.
Sur cet exemple, la preuve utilisant la propriété de Borel-Lebesgue est sans doute plus facile.
