Indicatrice d'Euler - Bibm@th.net
Exercice 1 - Indicatrice d'Euler ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé 
Soit $n>1$ un entier fixé. On choisit de manière équiprobable un entier $x$ dans $\{1,\dots,n\}$.
Pour tout entier $m\leq n$, on note $A_m$ l'événement "$m$ divise $x$". On note également $B$ l'événement
"$x$ est premier avec $n$". Enfin, on note $p_1,\dots,p_r$ les diviseurs premiers de $n$.
- Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_k}$.
- Pour tout entier naturel $m$ qui divise $n$, calculer la probabilité de $A_m$.
- Montrer que les événements $A_{p_1},\dots,A_{p_r}$ sont mutuellement indépendants.
- En déduire la probabilité de $B$.
- Application : on note $\phi(n)$ le nombre d'entiers compris entre $1$ et $n$ qui sont premiers avec $n$. Démontrer que $$\phi(n)=n\prod_{k=1}^r \left(1-\frac{1}{p_k}\right).$$
