Corrigé 
Le degré de $(X+1)^k-X^k$ est égal à $k-1$, sauf si $k=0$ car dans ce cas on a affaire au polynôme nul. En particulier, si $P$ est de degré $d$, $P(X)=a_dX^d+\dots+a_0$, alors
$$\phi(P)=a_d\big((X+1)^d-X^d)+\dots+a_1$$
est de degré $d-1$, sauf si $d=0$ où on a le polynôme nul. On en déduit que le noyau de $\phi$ est l'ensemble des polynômes constants.
D'autre part, l'image de $\phi$ est clairement contenue dans $\mathbb R_{n-1}[X]$. Or, ce dernier espace est de dimension $n$, et par le théorème du rang,
$$\dim\big(\textrm{Im}(\phi)\big)=n+1-\dim\big(\ker(\phi)\big)=n.$$
Ainsi, on a $\textrm{Im}(\phi)\subset \mathbb R_{n-1}[X]$ et $\dim\big(\textrm{Im}(\phi)\big)=\dim(\mathbb R_{n-1}[X]).$ Ces deux sous-espaces vectoriels sont donc égaux. Remarquons que ce serait beaucoup plus difficile à démontrer sans le théorème du rang.
