Exercice 1 - Sur les coefficients d'une matrice orthogonale ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé 
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal O_n(\mathbb R)$. On note $(C_1,\dots,C_n)$ les vecteurs colonnes de $M$, $v=\sum_{j=1}^n C_j$,
et $u=\sum_{j=1}^n e_j$, où $(e_1,\dots,e_n)$ est la base canonique de $\mtr^n$ muni de son produit scalaire canonique.
- Montrer que $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n m_{i,j}=(u|v).$
- En déduire que $\left|\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n m_{i,j}\right|\leq n$. Cette inégalité est-elle optimale?
- Démontrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|m_{i,j}|\leq n^{3/2}.$
- Démontrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|m_{i,j}|\geq n.$
Exercice 2 - Factorisation QR ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
- Soit $\mathcal B$ une base d'un espace euclidien $E$ et soit $\mathcal C$ l'orthonormalisée de Schmidt de $\mathcal B$. Que dire de la matrice de passage de $\mathcal C$ à $\mathcal B$?
- Montrer que, pour toute matrice $A\in GL_n(\mathbb R)$, il existe une matrice orthogonale $Q$ et une matrice triangulaire supérieure $R$ dont tous les coefficients diagonaux sont strictement positifs telles que $A=QR$.
- Démontrer que le couple $(Q,R)$ est unique.
Exercice 3 - Somme et projection orthogonale ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et soit $u\in O(E)$. On pose $v=u-Id$.
- Démontrer que $\ker(v)=(\textrm{Im}v)^\perp$. En déduire que $\ker(v)^\perp=\textrm{Im}(v)$.
- Soit $$u_n=\frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}u^k.$$ Démontrer que pour tout $x\in E$, $(u_n(x))$ converge vers le projeté orthogonal de $x$ sur $\ker v$.