$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formulaire - Intégration en coordonnées polaires, cylindriques, sphériques

Formule du changement de variables dans une intégrale multiple
Théorème : Soient $D$ et $E$ deux ouverts de $\mathbb R^n$ et $\phi:E\to D$ une bijection de classe $C^1$ de $E$ sur $F$ dont le déterminant jacobien ne s'annule pas. Alors, pour toute fonction intégrable $f:D\to\mathbb R$, on a $$\int\!\!\dots\!\!\int_D f(x_1,\ldots,x_n) \;\mathrm dx_1\ldots\mathrm dx_n = \int\!\!\dots\!\!\int_E f\bigl(\Phi(u_1,\ldots,u_n) \bigr)\left|\det J_\Phi(u_1,\ldots,u_n)\right|~\mathrm du_1\ldots\mathrm du_n.$$
Intégration en coordonnées polaires
  Le changement de variables en coordonnées polaires correspond à poser $(x,y)=(r\cos \theta,r\sin\theta)$, c'est-à-dire avec les notations du théorème à considérer $\phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$. On a : $$\iint_E f(x,y) \;\mathrm dx\mathrm dy = \iint_F f(r\cos\theta,r\sin\theta)r \;\mathrm dr\mathrm d \theta.$$
Intégration en coordonnées cylindriques
  Le changement de variables en coordonnées cylindriques correspond à poser $(x,y,z)=(r\cos \theta,r\sin\theta,z)$, c'est-à-dire avec les notations du théorème à considérer $\phi(r,\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)$. On a : $$\iint_E f(x,y,z) \;\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz = \iint_F f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r \;\mathrm dr\mathrm d \theta\mathrm dz.$$
Intégration en coordonnées sphériques
  Le changement de variables en coordonnées sphériques correspond à poser $(x,y,z)=(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)$, c'est-à-dire avec les notations du théorème précédent à considérer $\phi(r,\theta,\phi)=(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)$. On a : $$\iiint_D f(x,y,z) \;\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iiint_T f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)\,\rho^2 \sin \phi \;\mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi.$$