$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire - Nombres complexes et trigonométrie

Formule de Moivre
  Pour tout réel et tout entier n, alors
Cette formule permet par exemple d'exprimer cos(nx) et sin(nx) en fonction de puissances de cos(x) et/ou sin(x).

Exemple : On souhaite exprimer cos(3x) en fonction de cos(x). Nous avons :
cos(3x)=Re(cos(3x)+isin(3x))=Re[(cos x+isin x)3].
Développons en appliquant la formule du binôme :
(cos x+isin x)3=cos3x+3icos2x sin x -3xcos x sin2x-isin3x.
Prenant la partie réelle, et compte tenu de l'identité classique sin2x=1-\cos2 x :
cos(3x)=cos3 x-3cos x sin2x=4cos3 x-3cos x

Formule d'Euler
  Pour tout réel x,
Ces formules permettent de linéariser cosnx et sinnx, c'est-à-dire d'exprimer ces quantités en fonction de cos(px) et sin(px).

Exemple :
où on a regroupé les termes équidistants des extrémités.

Intérêt : La linéarisation est souvent utile en analyse, par exemple pour obtenir une primitive de sin4 x...