$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire - Nombres complexes et trigonométrie

Formule de Moivre
  Pour tout réel et tout entier n, alors
Cette formule permet par exemple d'exprimer $\cos(nx)$ et $\sin(nx)$ en fonction de puissances de $\cos(x)$ et/ou $\sin(x)$.

Exemple : On souhaite exprimer $\cos(3x)$ en fonction de $\cos(x)$. Nous avons : $$\cos(3x)=\mathrm{Re}(\cos(3x)+i\sin(3x))=\mathrm{Re}\big((\cos x+i\sin x)^3\big).$$ Développons en appliquant la formule du binôme : $$(\cos x+i\sin x)^3=\cos^3(x)+3i\cos^2(x) \sin (x) -3\cos (x) \sin^2(x)-i\sin^3(x).$$ Prenant la partie réelle, et compte tenu de l'identité classique $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ : $$\cos(3x)=\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)=4\cos^3(x)-3\cos x.$$

Formule d'Euler
  Pour tout réel x,
Ces formules permettent de linéariser $\cos^n(x)$ et $\sin^n(x)$, c'est-à-dire d'exprimer ces quantités en fonction des $\cos(px)$ et $\sin(px)$, pour $1\leq p\leq n$.

Exemple :
où on a regroupé les termes équidistants des extrémités.

Intérêt : La linéarisation est souvent utile en analyse. Le calcul précédent permet ainsi d'obtenir aisément une primitive de $\sin^4(x)$....