Formulaire de Mathématiques : binôme et multinôme
Binôme
Théorème : Si $a$ et $b$ sont deux nombres complexes, et $n$ un entier naturel, alors$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^kb^{n-k}.$$
Cette formule explique le nom de coefficients binômiaux donné aux $\binom n k$. Elle reste vraie si $a$ et $b$ sont deux éléments d'un même anneau qui commutent.
Multinôme
Théorème : Soient $z_1,z_2,\dots,z_k$ des nombres complexes
(ou des éléments pris dans un anneau commutatif). On a l'identité multinômiale :
$$(z_1+\cdots+z_k)^p=\sum\binom{p}{n_1,\dots,n_k}z_1^{n_1}\cdots z_k^{n_k}$$
où la sommation est étendue à l'ensemble des suites $(n_1,...,n_k)$ d'entiers naturels satisfaisant
$$n_1+\cdots+n_k=p.$$
Les coefficients multinômiaux qui interviennent valent $$\binom{p}{n_1,\dots,n_k}=\frac{p!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}.$$