Corrigé 
On note $\Delta_n(x)$ le déterminant recherché. On remarque, en écrivant la formule
qui donne la définition du déterminant, que $\Delta_n(x)$ est un polynôme de degré exactement
égal à $2n$. De plus, le terme en $x^{2n}$ ne peut s'obtenir qu'en faisant le produit des termes diagonaux.
On en déduit que le coefficient devant $x^{2n}$ est égal à 1. Calculons ensuite $\Delta_n(x)$
en effectuant un développement suivant la première ligne. On trouve
$$\Delta_n(x)=(1+x^2)\Delta_{n-1}(x)+x
\left|
\begin{array}{cccccc}
-x&-x&0&\dots\\
0&1+x^2&-x&0&\dots&0\\
\vdots&-x&1+x^2&-x&\ddots&\vdots\\
&0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
&\vdots&\ddots&-x&1+x^2&-x\\
0&0&\dots&0&-x&1+x^2
\end{array}
\right|.$$
On continue en effectuant un développement suivant la première colonne
du déterminant restant. On trouve
$$\Delta_n(x)=(1+x^2)\Delta_{n-1}(x)-x^2\Delta_{n-2}(x).$$
Pour trouver vraiment la valeur de $\Delta_n(x)$, on calcule les premières itérations. On a
$$\Delta_1(x)=1+x^2,\ \Delta_2(x)=1+x^2+x^4,\dots$$
On conjecture que $\Delta_n(x)=1+x^2+\dots+x^{2n}$. Démontrons ceci par récurrence double.
La propriété est vraie aux rangs $n=1$ et $n=2$. Si elle est vraie simultanément aux rangs $n-2$
et $n-1$, la formule de récurrence précédente montre qu'elle est aussi vraie au rang $n$.
On obtient donc $\Delta_n(x)=1+x^2+\dots+x^{2n}$.
