Corrigé 
On va calculer la dimension du noyau de $B$. Notons $m_i$ le nombre de colonnes de
$A_i$ et $r_i$ le rang de $A_i$, pour $i=1,\dots,n$. Notons $E_i$ le noyau de $A_i$, qui est, par le théorème du rang, de dimension $m_i-r_i$.
Soit $X=\begin{pmatrix}X_1\\ X_2\\ \vdots \\ X_n\end{pmatrix}.$
Alors
$$BX=0\iff \forall i=1,\dots,n,\ A_i X_i=0\iff \forall i=1,\dots,n,\ X_i\in E_i.$$
On en déduit que $\ker B=E_1\times\cdots\times E_n$ et donc
\begin{align*}
\dim(\ker(B))&=\dim(E_1)+\cdots+\dim(E_n)\\
&=(m_1+\cdots+m_n)-(r_1+\cdots+r_n).
\end{align*}
Appliquant à nouveau le théorème du rang, on trouve que
$$\textrm{rg}(B)=(m_1+\cdots+m_n)-\dim(\ker(B))=r_1+\cdots+r_n.$$
