Inverse avec calculs! - Bibm@th.net

On utilise la méthode du pivot de Gauss. Commençons par $A$. $$\begin{array}{r|l} \dis \left( \begin{array}{rcl} 1&1&2\\ 1&2&1\\ 2&1&1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left .\begin{array}{c} \\ L_2-L_1\to L_2\\ L_3-2L_1\to L_3 \end{array} \right. \dis \left( \begin{array}{rcl} 1&1&2\\ 0&1&-1\\ 0&-1&-3 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ -1&1&0\\ -2&0&1 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left .\begin{array}{c} \\ \\ L_3+L_2\to L_3 \end{array}\right. \dis \left( \begin{array}{rcl} 1&1&2\\ 0&1&-1\\ 0&0&-4 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ -1&1&0\\ -3&1&1 \end{array} \right)\\ \end{array}$$ Après transformations élémentaires, la matrice qui apparait à gauche est triangulaire supérieure, et les coefficients sur la diagonale sont tous non nuls. On en déduit que $A$ est inversible. On trouve son inverse en poursuivant la méthode. $$\begin{array}{r|l} \dis \left. \begin{array}{c} \\ \\ \frac{-1}{4}L_3\to L_3 \end{array} \right. \dis \left( \begin{array}{rcl} 1&1&2\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ -1&1&0\\ 3/4&-1/4&-1/4 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left. \begin{array}{c} L_1-2L_3\to L_1\\ L_2+L_3\to L_2\\ \ \end{array} \right. \left( \begin{array}{rcl} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} -1/2&1/2&1/2\\ -1/4&3/4&-1/4\\ 3/4&-1/4&-1/4 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left. \begin{array}{c} L_1-L_2\to L_1\\ \\ \ \end{array} \right. \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} -1/4&-1/4&3/4\\ -1/4&3/4&-1/4\\ 3/4&-1/4&-1/4 \end{array} \right)\\ \end{array} $$ La matrice inverse recherchée est donc : $$\left( \begin{array}{rcl} -1/4&-1/4&3/4\\ -1/4&3/4&-1/4\\ 3/4&-1/4&-1/4 \end{array} \right).$$ On suit la même méthode pour $B$. On forme $$\begin{array}{r|l} \dis \left( \begin{array}{rcl} 0&1&2\\ 1&1&2\\ 0&2&3 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left .\begin{array}{c} L_2\to L_1\\ L_1\to L_2\\ L_3-2L_1\to L_3 \end{array} \right. \dis \left( \begin{array}{rcl} 1&1&2\\ 0&1&2\\ 0&0&-1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 0&1&0\\ 1&0&0\\ -2&0&1 \end{array} \right)\\ \end{array}$$ Après transformations élémentaires, la matrice qui apparait à gauche est triangulaire supérieure, et les coefficients sur la diagonale sont tous non nuls. On en déduit que $B$ est inversible. On trouve son inverse en poursuivant la méthode. $$\begin{array}{r|l} \dis \left. \begin{array}{c} L_1+2L_3\to L_1\\ L_2+2L_3\to L_2\\ -L_3\to L_3 \end{array} \right. \dis \left( \begin{array}{rcl} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} -4&1&2\\ -3&0&2\\ 2&0&-1 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left. \begin{array}{c} L_1-L_2\to L_1\\ \\ \ \end{array} \right. \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} -1&1&0\\ -3&0&2\\ 2&0&-1 \end{array} \right)\\ \end{array} $$ La matrice inverse recherchée est donc : $$B^{-1}=\left( \begin{array}{rcl} -1&1&0\\ -3&0&2\\ 2&0&-1 \end{array} \right).$$ Passons à $C$ : $$\begin{array}{r|l} \dis \left( \begin{array}{rcl} 1&4&7\\ 2&5&8\\ 3&6&9 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left .\begin{array}{c} L_1\\ L_2-2L_1\to L_2\\ L_3-3L_1\to L_3 \end{array} \right. \dis \left( \begin{array}{rcl} 1&4&7\\ 0&-3&-6\\ 0&-6&-12 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ -2&1&0\\ -3&0&1 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left .\begin{array}{c} L_1\\ L_2\\ L_3-2L_2\to L_3 \end{array} \right. \dis \left( \begin{array}{rcl} 1&4&7\\ 0&-3&-6\\ 0&0&0 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ -2&1&0\\ 1&-2&1 \end{array} \right)\\ \end{array}$$ La matrice $C$ n'est donc pas inversible.
Étudions maintenant $I$ : $$\begin{array}{r|l} \dis \left( \begin{array}{rcl} i&-1&2i\\ 2&0&2\\ -1&0&1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left .\begin{array}{c} L_3\to L_1\\ L_1\to L_2\\ L_2\to L_3 \end{array} \right. \dis \left( \begin{array}{rcl} -1&0&1\\ i&-1&2i\\ 2&0&2 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left .\begin{array}{c} \\ L_2+iL_1\to L_2\\ L_3+2L_1\to L_3 \end{array}\right. \dis \left( \begin{array}{rcl} -1&0&1\\ 0&-1&3i\\ 0&0&4 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 0&0&1\\ 1&0&i\\ 0&1&2 \end{array} \right)\\ \end{array}$$ La matrice $I$ est donc inversible. Pour calculer son inverse, on poursuit la méthode : $$\begin{array}{r|l} \dis \left .\begin{array}{c} \\ \\ L_3/4\to L_3 \end{array}\right. \left( \begin{array}{rcl} -1&0&1\\ 0&-1&3i\\ 0&0&1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 0&0&1\\ 1&0&i\\ 0&1/4&1/2 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left .\begin{array}{c} L_1-L_3\to L_1\\ L_2-3iL_3\to L_2\\ \\ \end{array} \right. \dis \left( \begin{array}{rcl} -1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 0&-1/4&1/2\\ 1&-3i/4&-i/2\\ 0&1/4&1/2 \end{array} \right)\\ \\ \dis \left .\begin{array}{c} -L_1\to L_1\\ -L_2\to L_2\\ \\ \end{array}\right. \dis \left( \begin{array}{rcl} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) &\dis \left( \begin{array}{rcl} 0&1/4&-1/2\\ -1&3i/4&i/2\\ 0&1/4&1/2 \end{array} \right)\\ \end{array}$$ L'inverse de $I$ est donc la matrice $$\left( \begin{array}{rcl} 0&1/4&-1/2\\ -1&3i/4&i/2\\ 0&1/4&1/2 \end{array} \right).$$