Inverser une matrice à partir d'une égalité - Bibm@th.net

Exercice 1 - Inverser une matrice à partir d'une égalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

1. Soit $\dis A=\left( \begin{array}{ccc} -1&1&1\\ 1&-1&1\\ 1&1&-1 \end{array}\right)$. Montrer que $A^2=2I_3-A$, en déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
2. Soit $ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & -1 & 1 \cr 1 & -2 & 0 \cr \end{pmatrix} .$ Calculer $ A^3-A .$ En déduire que $ A $ est inversible puis déterminer $ A^{-1} .$
3. Soit $A=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -1&2&-1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2-3A+2I_3$. En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.

Indication

1. Écrire $\frac{A^2+A}{2}=I_3$, et factoriser.
2. Écrire $A \times \frac 1 4 (A^2-I_3) = I_3$ et factoriser

Corrigé

1. Le calcul ne pose pas de problèmes. Il mène à : $$ \frac{A^2+A}{2}=I_3\implies A\frac{A+I_3}{2}=\frac{A+I_3}{2}A=I_3.$$ $A$ est inversible, et son inverse est : $$\frac{A+I_3}{2}.$$
2. Un calcul donne $A^3-A = 4 I_3$. Donc $A \times \frac 1 4 (A^2-I_3) = I_3$, ainsi $A$ est inversible et $$A^{-1} = \frac 1 4 (A^2-I_3) = \frac 1 4 \begin{pmatrix} 2&-4&2\\ 1&-2&-1\\ 1&2&-1\\ \end{pmatrix}. $$
3. On vérifie facilement que $A^2-3A+2I_3=0$. On réécrit ceci en : $$A(A-3I_3)=-2I_3\iff A\left(\frac{-1}2(A-3I_3)\right)=I_3.$$ Ainsi, $A$ est inversible et son inverse est $\frac{-1}2(A-3I_3)$.