Enoncé 
Déterminer, suivant la valeur du réel $a$, le rang de la matrice suivante :
$$A=\left(
\begin{array}{cccc}
1&a&a^2&a^3\\
a&a^2&a^3&1\\
a^2&a^3&1&a\\
a^3&1&a&a^2
\end{array}\right).$$
Corrigé 
On effectue les opérations suivantes :
$$L_2-aL_1\to L_2,\ L_3-a^2L_1\to L_3,\ L_4-a^3L_1\to L_4$$
et $A$ a même rang que
$$A_1=\left(
\begin{array}{cccc}
1&a&a^2&a^3\\
0&0&0&1-a^4\\
0&0&1-a^4&a(1-a^4)\\
0&1-a^4&a(1-a^4)&a^2(1-a^4)\\
\end{array}\right).$$
On échange ensuite $L_2$ et $L_4$ et on trouve que $A$ a même rang que
$$A_2=\left(
\begin{array}{cccc}
1&a&a^2&a^3\\
0&1-a^4&a(1-a^4)&a^2(1-a^4)\\
0&0&1-a^4&a(1-a^4)\\
0&0&0&1-a^4\\
\end{array}\right).$$
On obtient une matrice triangulaire, dont les pivots sont non nuls si
$1-a^4\neq 0$, ie si $a\neq 1$ et $a\neq -1$. Dans ce cas, la matrice est
de rang 4. Si $a=1$ ou $a=-1$, la matrice $A$ a même rang qu'une matrice
dont une seule ligne est non-nulle. Elle a donc pour rang 1.
Bibm@th
