Puissance $n$-ième - avec un polynôme annulateur - Bibm@th.net

Exercice 1 - Puissance $n$-ième - avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

1. Pour $n\geq 2$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$.
2. Soit $A=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -1&2&-1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}$. Déduire de la question précédente la valeur de $A^n$, pour $n\geq 2$.

Indication

1. Écrire la formule donnée par la division euclidienne, et évaluer-la en les racines de $X^2-3X+2$.
2. Calculer $A^2-3A+2I_3$.

Corrigé

1. On sait que $$X^n=(X^2-3X+2)Q_n(X)+a_nX+b_n,$$ où $a_n X+b_n$ est le reste dans la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$. Pour trouver la valeur de $a_n$ et $b_n$, on évalue l'égalité précédente en les racines de $X^2-3X+2$, c'est-à-dire en $1$ et $2$. On trouve le système : $$\left\{ \begin{array}{rcl} a_n+b_n&=&1\\ 2a_n+b_n&=&2^n \end{array}\right.$$ dont l'unique solution est $a_n=2^n-1$ et $b_n=2-2^n$.
2. Il suffit de remarquer que $A^2-3A+2I_3=0$. Remplaçant dans l'expression de la division euclidienne, on trouve $$A^n =(2^n-1)A+(2-2^n)I_3.$$