Enoncé 
Soit $$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1&1&0\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{array}\right),\quad
I=\left(
\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}\right)\textrm{ et }
B=A-I.$$
Calculer $B^n$ pour tout $n\in\mathbb N$. En déduire $A^n$.
Indication 
Commencer par calculer $B^2$, $B^3$, etc... Pour calculer $A^n$, on peut utiliser la formule du binôme de
Newton car $B$ et $I$ commutent.
Corrigé On commence par calculer les premières valeurs de $B^n$. On a
$$
B=\left(
\begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
B^2=\left(
\begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
B^3=\left(
\begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right).$$
On en déduit alors par récurrence que, pour tout $n\geq 3$, on a $B^n=0$.
En effet, c'est vrai pour $n=3$. Si c'est vrai au rang $n\geq 3$, alors
$$B^{n+1}=B^n\times B=0\times B=0.$$
Pour obtenir $A$, on écrit $A=I+B$ et on remarque que
$I$ et $B$ commutent puisque $IB=BI=B$. On peut alors appliquer la formule du binôme
de Newton, ce qui est très facile ici puisque $B^n=0$ dès que $n\geq 3$. On en déduit
$$A^n=I^{n}+\binom{n}{1}I^{n-1}B+\binom{n}{2}I^{n-2}B^2$$
ce qui se réécrit en
$$A^n=I+nB+\frac{n(n-1)}{2}B^2.$$
On a donc
$$A^n=\left(\begin{array}{ccc}
1&n&\frac{n(n-1)}2\\
0&1&n\\
0&0&1
\end{array}
\right).$$
