Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices >

Noyaux itérés - Bibm@th.net

Exercice 1 - Noyaux itérés ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et soit $f\in\mathcal L(E)$.

Soit $k\geq 1$. Démontrer que $\ker(f^{k})\subset \ker(f^{k+1})$ et $\textrm{Im}(f^{k+1})\subset \textrm{Im}(f^k).$
1. Démontrer que si $\ker(f^k)=\ker(f^{k+1})$, alors $\ker(f^{k+1})= \ker(f^{k+2})$.
2. Démontrer qu'il existe $p\in\mathbb N$ tel que
  - si $k<p$, alors $\ker(f^k)\neq \ker(f^{k+1})$;
  - si $k\geq p$, alors $\ker(f^k)= \ker(f^{k+1})$.
3. Démontrer que $p\leq n$;
Démontrer que si $k<p$, alors $\textrm{Im}(f^k)\neq \textrm{Im}(f^{k+1})$ et si $k\geq p$, alors $\textrm{Im}(f^k)=\textrm{Im}(f^{k+1})$.
Démontrer que $\ker(f^p)$ et $\textrm{Im}(f^p)$ sont supplémentaires.
Démontrer qu'il existe deux sous-espaces $F$ et $G$ de $E$ tels que $F$ et $G$ sont supplémentaires, $f_{|F}$ est nilpotent et $f_{|G}$ induit un automorphisme de $G$.
Soit $d_k=\dim\big(\textrm{Im}(f^k)\big)$. Montrer que la suite $(d_k-d_{k+1})$ est décroissante.

Indication

Corrigé

Si $x\in \ker(f^k)$, alors $f^{k+1}(x)=f(f^k(x))=f(0)=0$ et donc $\ker(f^k)\subset \ker(f^{k+1})$. De même, si $y\in\textrm{Im}(f^{k+1})$, alors il existe $x\in E$ tel que $y=f^{k+1}(x)=f^k(f(x))$ et donc $y\in\textrm{Im}(f^k)$.
1. Bien sûr, il suffit de prouver que $\ker(f^{k+2})\subset \ker(f^{k+1})$. Mais si $x\in\ker(f^{k+2})$, alors $0=f^{k+2}(x)=f^{k+1}(f(x))$. On a donc $f(x)\in\ker(f^{k+1})$ et donc $f(x)\in \ker(f^k)$. Ceci implique $f^{k+1}(x)=0$, c'est-à-dire $x\in\ker(f^{k+1})$.
2. Supposons qu'il n'existe pas d'entiers $k$ tel que $\ker(f^k)=\ker(f^{k+1})$. Ceci signifie que pour chaque entier $k$, l'inclusion $\ker(f^k)\subset\ker(f^{k+1})$ est stricte, et en particulier, on a $$\dim\big(\ker(f^{k+1})\big)\geq\dim\big(\ker(f^k)\big)+1.$$ On en déduit que pour tout entier $k$, on a $\dim\big(\ker(f^k)\big)\geq k$. Mais ceci n'est pas possible, puisque la dimension de $\ker(f^k)$ est majorée par $n$. On définit alors $p$ comme le plus petit entier des entiers $k$ tels que $\ker(f^k)=\ker(f^{k+1})$. Grâce au résultat de la question précédente, on a bien $\ker(f^k)=\ker(f^{k+1})$ si $k\geq p$.
3. Le raisonnement de la question précédente donne en fait immédiatement que $p\leq n$. En effet, on a prouvé que pour tout $k\leq p$, on a $\dim(\ker f^k)\geq k$, et donc en particulier on a $n\geq \dim(\ker(f^p))\geq p$.
Ceci résulte immédiatement du théorème du rang et de la définition de $p$. En effet, si $k<p$, alors $\dim(\ker(f^k))\neq \dim(\ker(f^{k+1}))$ et donc $\dim(\imv(f^k))\neq \dim(\imv(f^{k+1}))$. De même, si $k\geq p$, on a $\dim(\ker(f^k))=\dim(\ker(f^{k+1}))$ et donc $\dim(\imv(f^k))=\dim(\imv(f^{k+1}))$. Comme on sait déjà que $\textrm{Im}(f^{k+1})\subset \textrm{Im}(f^k)$, ces deux sous-espaces vectoriels sont égaux.
Par le théorème du rang, il suffit de prouver que $\ker(f^p)\cap \imv(f^p)=\{0\}$. Soit $y\in \ker(f^p)\cap \imv(f^p)$. Alors il existe $x\in E$ tel que $y=f^p(x)$. On sait aussi que $f^{p}(y)=f^{2p}(x)=0$, et donc $x\in \ker(f^{2p})$. Mais par définition de $p$, on a $\ker(f^{2p})=\ker(f^p)$ et donc $x\in\ker(f^p)$. Ceci entraine $y=0$ et le résultat.
On va poser $F=\ker(f^p)$ et $G=\imv(f^p)$. On commence par remarquer que $F$ est stable par $f$. En effet, si $x\in F$, alors $f^p(f(x))=f(f^p(x))=0$ et donc $f(x)\in F$. Bien sûr, $f_{|F}$ est nilpotent puisque, pour tout $x\in F$, $f^p(x)=0$. Posons ensuite $g=f_{|G}$. Remarquons d'abord que $g$ est bien un endomorphisme de $G$, puisque $g(\textrm{Im}(f^p))=\imv(f^{p+1})\subset G$. De plus, $g$ est injective car $\ker(f)\cap \imv(f^p)\subset \ker(f^p)\cap \imv(f^p)=\{0\}$. AInsi, $g$ est un automorphisme de $G$ (qui est de dimension finie).
Soit $k$ un entier naturel et $g_k$ la restriction de $f$ à $\imv(f^k)$. Alors d'après le théorème du rang, on a $$d_k=\dim(\imv(f^k))=\dim(\ker(g_k))+\dim(\imv(g_k)).$$ Mais $\imv(g_k)=g_k(\imv(f^k))=f(\imv(f^k))=\imv(f^{k+1})$. Ainsi, on a : $$d_k-d_{k+1}=\dim(\ker(g_k)).$$ Mais $g_k=f_{|\imv(f^k)}$ et donc $\ker(g_k)=\ker(f)\cap\imv(f^k)$. Puisque la suite $\imv(f^k)$ est décroissante (pour l'inclusion), on en conclut qu'il en est de même pour $\ker(g_k)$ et donc que la suite $(d_k-d_{k+1})$ est décroissante.