Enoncé 
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $p$,
$G$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $q$. Donner une condition nécessaire
et suffisante pour qu'il existe un endormorphisme $f$ de $E$ avec $\ker(f)=F$ et $\textrm{Im}(f)=G$.
Corrigé 
D'après le théorème du rang, si un tel endomorphisme existe, on a $p+q=n$.
Réciproquement, supposons que $p+q=n$. On va définir $f$ sur une base bien choisie
de $E$. Soit $(e_1,\dots,e_p)$ une base de $F$. On peut la compléter
en une base $(e_1,\dots,e_p,e_{p+1},\dots,e_{p+q})$ de $E$. Soit également
$(f_1,\dots,f_q)$ une base de $G$. On définit alors l'action de $f$ sur la base
$(e_i)$ par
$$\left\{
\begin{array}{rcll}
f(e_i)&=&0&\textrm{ si }i\leq p\\
f(e_i)&=&f_{i-p}&\textrm{ si }i\in\{p+1,\dots, p+q\}
\end{array}\right.$$
Il est alors à peu près clair que $f$ vérifie les conditions voulues.
Pour obtenir une preuve complète, on peut remarque que $F\subset\ker(f)$
et que $G\subset\textrm{Im}(f)$. De plus, en décomposant un vecteur dans
la base $(e_1,\dots,e_{p+q})$, on trouve qu'on a exactement
$F=\ker(f)$. Par le théorème du rang, on obtient $\dim(G)=\dim(\textrm{Im}(f))$
d'où l'égalité puisqu'on a déjà une inclusion.
