Indication 
Pour un sens, utiliser le théorème du rang. Pour la réciproque, considérer
$(e_1,\dots,e_{2p})$ une base de $E$ et définir $f$ sur cette base. On séparera
$f(e_i)$, pour $i\leq p$, et $f(e_i)$, pour $i>p$.
Corrigé Supposons d'abord qu'une telle application existe. D'après le théorème du rang,
on a :
$$\dim(E)=\dim(\ker(f))+\dim(\textrm{Im}(f))=2\dim(\ker(f))$$
et donc $\dim(E)$ est pair. Réciproquement, si $E$ est de dimension paire, alors
considérons $(e_1,\dots,e_{2p})$ une base de $E$. On définit un endomorphisme $f$ de
$E$ en posant :
$$f(e_i)=\left\{
\begin{array}{ll}
0&\textrm{si }i\leq p\\
e_{i-p}&\textrm{si }i>p.
\end{array}\right.$$
Ceci définit complètement un endomorphisme $f$. Montrons qu'il vérifie les propriétés demandées. D'une part,
pour $u=\sum_{i=1}^{2p}u_i e_i$, on a
$$f(u)=\sum_{i=p+1}^{2p}u_i e_{i-p}=\sum_{j=1}^p u_{j+p}e_j.$$
On en déduit que $f(u)=0$ si et seulement $u\in F=\textrm{vect}(e_1,\dots,e_p)$.
De plus, on a $\textrm{Im}(f)\subset F$, et par le théorème du rang, ces deux espaces
ont la même dimension égale à $p$. Ils sont donc égaux.
Bibm@th
