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Exercice de synthèse - Bibm@th.net

Exercice 1

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On considère dans $\mathbb R^4$ : $$\begin{array}{llll} v_1=(1,2,0,1)&v_2=(1,0,2,1)&v_3=(2,0,4,2)\\ w_1=(1,2,1,0)&w_2=(-1,1,1,1)&w_3=(2,-1,0,1)&w_4=(2,2,2,2). \end{array}$$

Montrer que $(v_1,v_2)$ est libre et que $(v_1,v_2,v_3)$ est liée.
Montrer que $(w_1,w_2,w_3)$ est libre et que $(w_1,w_2,w_3,w_4)$ est liée.
Montrer que $(v_1,v_2,w_1,w_2)$ est libre.
Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R^4$ engendré par $(v_1,v_2,v_3)$.
1. Déterminer une base de $F$.
2. Donner un supplémentaire de $F$.
Soit $G$ le sous-espace vectoriel engendré par $(w_1,w_2,w_3,w_4)$. Déterminer une base de $G$.
1. A l'aide des bases trouvées en 4. et 5. construire un système générateur de $F+G$.
2. En déduire que $F+G=\mathbb R^4$.
1. Montrer que $v_1+v_2$ est dans $F\cap G$.
2. Calculer la dimension de $F\cap G$.
3. Donner une base de $F\cap G$.
$F$ et $G$ sont-ils supplémentaires?

Indication

Corrigé

$v_1$ et $v_2$ ne sont pas proportionnels, donc la famille $(v_1,v_2)$ est libre. En revanche, $v_3=2v_2$ et donc $(v_1,v_2,v_3)$ est liée.
Soit $aw_1+bw_2+cw_3=0$. On trouve le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} a-b+2c&=&0\\ 2a+b-c&=&0\\ a+b&=&0\\ b+c&=&0 \end{array}\right.\iff \left\{ \begin{array}{rcl} a-b+2c&=&0\\ 3b-5c&=&0\\ 2b-2c&=&0\\ b+c&=&0 \end{array}\right.$$ Les deux dernières équations donnent immédiatement $b=c=0$ et en revenant à la première on obtient aussi $a=0$. Ainsi, la famille $(w_1,w_2,w_3)$ est libre. Étudions maintenant $aw_1+bw_2+cw_3+dw_4=0$. On trouve le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} a-b+2c+2d&=&0\\ 2a+b-c+2d&=&0\\ a+b+2d&=&0\\ b+c+2d&=&0 \end{array}\right.\iff \left\{ \begin{array}{rcl} a-b+2c+2d&=&0\\ 3b-5c-2d&=&0\\ 2b-2c&=&0\\ b+c+2d&=&0 \end{array}\right.$$ $$\iff \left\{ \begin{array}{rcl} a+b+2d&=&0\\ -2b-2d&=&0\\ c&=&b\\ 2b+2d&=&0 \end{array}\right.$$ La seconde et la dernière équation sont identiques, et on trouve que le système est équivalent à $$\left\{ \begin{array}{rcl} a&=&b\\ b&=&b\\ c&=&b\\ d&=&-b \end{array}\right.$$ Ainsi, $w_1+w_2+w_3-w_4=0$ : la famille $(w_1,w_2,w_3,w_4)$ est liée. Bien sûr, on pouvait remarquer dès le départ que $w_4=w_1+w_2+w_3\dots$.
On résout toujours l'équation $av_1+bv_2+cw_1+dw_2=0$ et on prouve que $a=b=c=d=0$. Le détail des calculs est laissé au lecteur courageux...
1. $(v_1,v_2,v_3)$ est une famille génératrice de $F$ mais ce n'est pas une base de $F$ car elle n'est pas libre. Puisque $v_3$ est combinaison linéaire de $v_1$ et $v_2$, la famille $(v_1,v_2)$ engendre aussi $F$. Elle est libre : c'est une base de $F$.
2. Puisque $(v_1,v_2,w_1,w_2)$ est une famille libre de 4 vecteurs dans un espace de dimension 4, c'est une base de $\mathbb R^4$. Si $F_0$ est le sous-espace vectoriel engendré par $w_1$ et $w_2$, alors $F_0$ est un supplémentaire de $F$. En effet, $F\cap F_0=\{0\}$, puisqu'un élément $x$ de $F\cap F_0$ s'écrit à la fois $x=av_1+bv_2=av_1+bv_2+0w_1+0w_2$ et $x=cw_1+dw_2=0v_1+0v_2+cw_1+dw_2$ ce qui entraine, par unicité de l'écriture dans une base, $a=b=c=d=0$ et $x=0$. De plus, $\dim(F\oplus F_0)=\dim(F)+\dim(F_0)=4$, et donc $F\oplus F_0$ est un sous-espace de $\mathbb R^4$ de dimension 4 : $F\oplus F_0=\mathbb R^4$.
En raisonnant comme à la question précédente, mais en utilisant cette fois le résultat de la question 2. on trouve que $(w_1,w_2,w_3)$ est une base de $G$.
1. Un système générateur de $F+G$ est obtenu en faisant la réunion d'un système générateur de $F$ et d'un système générateur de $G$. La famille $(v_1,v_2,v_3,w_1,w_2,w_3,w_4)$ est donc un système générateur de $F+G$.
2. D'après la question 3, $(v_1,v_2,w_1,w_2)$ est une famille libre. Puisqu'elle comporte quatre éléments, c'est une base de $\mathbb R^4$. Ainsi, le sous-espace vectoriel qu'elle engendre est égal à $\mathbb R^4$. Or, on a $\textrm{vect}(v_1,v_2,w_1,w_2)\subset F+G$, et donc $F+G=\mathbb R^4$ puisqu'il contient $\mathbb R^4$ (et est évidemment contenu dans $\mathbb R^4$).
1. Puisque $v_1$ et $v_2$ sont dans $F$ et que $F$ est un espace vectoriel, $v_1+v_2$ est dans $F$. De plus, $v_1+v_2=w_4\in G$.
2. Par le théorème des quatre dimensions, on a $$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$$ d'où on tire $4=2+3-\dim(F\cap G)$, soit $\dim(F\cap G)=1$.
3. Puisque $w_4\in F\cap G$ et $w_4\neq 0$, la famille $(w_4)$ est une famille libre de un vecteur dans un espace de dimension 1. C'est une base de $F\cap G$.
Non, $F\cap G\neq\{0\}$.