Corrigé 
Soit $P\in F$. Alors, puisque $P(\alpha)=0$, $P$ se factorise par $X-\alpha$. Autrement dit, il existe un polynôme $Q\in\mathbb R_{n-1}[X]$ tel que $P(X)=(X-\alpha)Q(X)$. Mais on peut écrire
$$Q(X)=\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$$
et donc
$$P(X)=\sum_{k=0}^{n-1}a_k(X-\alpha)X^k,$$
ce qui prouve que $\mathcal B$ est une famille génératrice de $F$. C'est aussi une famille libre, car si
$$\sum_{k=0}^{n-1}a_k(X-\alpha)X^k=0,$$
alors
$$(X-\alpha)\left(\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k\right)=0$$
et le polynôme $\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$ doit être nul. Comme la famille $(1,X,\dots,X^{n-1})$ est libre, ceci entraîne que tous les $a_k$ sont nuls.
On en déduit bien sûr que la dimension de $F$ est $n$. Cette dernière propriété pouvait également être établi à l'aide du théorème du rang, car $F$ est le noyau de la forme linéaire $\mathbb R_n[X]\to R,\ P\mapsto P(\alpha)$. Enfin, pour déterminer les coordonnées de $(X-\alpha)^n$ dans la base précédente, on écrit
\begin{eqnarray*}
(X-\alpha)^n &=&(X-\alpha)(X-\alpha)^{n-1}\\
&=&(X-\alpha)\left(\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}k (-\alpha)^{n-1-k}X^k\right)\\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}k (-\alpha)^{n-1-k}(X-\alpha)X^k
\end{eqnarray*}
