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Complétion d'une base - Bibm@th.net

Exercice 1

- Complétion d'une base [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Pour $E=\mathbb R^4$, dire si les familles de vecteurs suivantes peuvent être complétées en une base de $E$. Si oui, le faire.

$(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1,0)$, $v=(0,1,-4,1)$ et $w=(2,5,-6,1)$;
$(u,v,w)$ avec $u=(1,0,2,3)$, $v=(0,1,2,3)$ et $w=(1,2,0,3)$;
$(u,v)$ avec $u=(1,-1,1,-1)$ et $v=(1,1,1,1)$.

Indication

Corrigé

On remarque que $w=2u+v$. La famille $(u,v,w)$ est liée. On ne peut pas la compléter en une base de $E$.
On va d'abord vérifier que la famille $(u,v,w)$ est libre. Une équation du type $au+bv+cw=0$ est équivalente au système $$\left\{ \begin{array}{rcl} a+c&=&0\\ b+2c&=&0\\ 2a+2b&=&0\\ a+b+c&=&0.\\ \end{array}\right.$$ La première et la dernière équation donnent immédiatement $b=0$, d'où on tire $a=0$ et $c=0$. La famille $(u,v,w)$ est libre. D'après le théorème de la base incomplète, on peut la compléter en une base de $\mathbb R^4$ à l'aide de vecteurs de n'importe quelle famille génératrice de $\mathbb R^4$. Ici, il suffit d'un vecteur (la famille compte déjà 3 éléments, et on travaille dans un espace de dimension 4), et on va choisir la famille génératrice la plus simple, la base canonique notée $(e_1,\dots,e_4)$. Montrons que $(u,v,w,e_2)$ est libre. En effet, si $au+bv+cw+de_2=0$, on obtient le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} a+c&=&0\\ b+2c+d&=&0\\ 2a+2b&=&0\\ a+b+c&=&0.\\ \end{array}\right.$$ Comme précédemment, la première et la dernière équation donnent $b=0$, d'où $a=0$ d'après la deuxième, puis $c=0$ et $d=0$. La famille $(u,v,w,e_2)$ est donc une famille libre de 4 éléments dans un espace de dimension 4. C'est une base de $\mathbb R^4$. Remarquons que le choix de $e_2$ n'est pas fait au hasard : on l'a choisi plutôt que $e_1$ afin de ne pas perturber la première et la dernière équation du système, et donc d'obtenir facilement $b=0$.
Les vecteurs $(u,v)$ sont non proportionnels. La famille $(u,v)$ est donc libre et comme ci-dessus on peut la compléter à l'aide de deux (cette fois) vecteurs de la base canonique. On vérifie d'abord que $(u,v,e_1)$ est libre. En effet, si $au+bv+ce_1=0$, on trouve le système $$\left\{\begin{array}{rcl} a+b+c&=&0\\ -a+b&=&0\\ a+b&=&0\\ -a+b&=&0.\\ \end{array}\right.$$ De la première et la troisième équation, on trouve $c=0$, d'où l'on tire facilement $a=b=c=0$. Expliquons maintenant le choix du deuxième vecteur pour compléter. La deuxième et la quatrième équation sont identiques. Elles apportent donc la même information. Pour obtenir vraiment un système de quatre équations différentes, il suffit de perturber l'une des deux, par exemple la deuxième. C'est pourquoi on va montrer que $(u,v,e_1,e_2)$ est une famille libre. En effet, si $au+bv+ce_1+de_2=0$, alors on trouve le système $$\left\{\begin{array}{rcl} a+b+c&=&0\\ -a+b+d&=&0\\ a+b&=&0\\ -a+b&=&0.\\ \end{array}\right.$$ Comme précédemment, on a $c=0$, et les deuxième et quatrième équations montrent que $d=0$. On en déduit alors facilement que $a=b=c=d=0$. La famille $(u,v,e_1,e_2)$ est libre. Elle comporte 4 éléments dans un espace de dimension 4 : c'est une base de $\mathbb R^4$.