Enoncé 
Soient, dans $\mathbb R^3$, $P$ le plan d'équation $z=x-y$ et $D$ la droite
d'équation $x=-y=z$. Trouver la matrice dans la base canonique de $\mathbb R^3$
de la projection $p$ de $\mathbb R^3$ sur $P$ parallèlement à $D$.
Indication 
Trouver une base $(u_1,u_2)$ de $P$, une base $u_3$ de $D$,
et écrire la matrice de la projection dans $(u_1,u_2,u_3)$. Puis changer de base.
Corrigé On commence par chercher une base de $P$ et une base de $D$. On a
$$(x,y,z)\in P \iff\left\{\begin{array}{cccccc}
x&=&x\\
y&=&&y\\
z&=&x&-y
\end{array}\right.$$
Autrement dit, si on pose $u=(1,0,1)$ et $v=(0,1,-1)$, alors $(u,v)$ est une base de $P$.
On cherche ensuite une base (ici, un vecteur directeur) de $D$. Clairement,
$w=(1,-1,1)$ convient. Puisque $P$ et $D$ sont supplémentaires, $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb R^3$.
La matrice de la projection dans cette base est :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{array}\right).$$
Si $Q$ est la matrice de passage de la base canonique à la base $(u,v,w)$, alors
la matrice recherchée est $QAQ^{-1}$. Or, on peut écrire $Q$ directement,
$$Q=\left(
\begin{array}{ccc}
1&0&1\\
0&1&-1\\
1&-1&1
\end{array}
\right),$$
et, après calculs, on obtient
$$Q^{-1}=\left(
\begin{array}{ccc}
0&1&1\\
1&0&-1\\
1&-1&-1
\end{array}
\right),\ QAQ^{-1}=\left(
\begin{array}{ccc}
0&1&1\\
1&0&-1\\
-1&1&2
\end{array}
\right).$$
