Dérivation - Bibm@th.net

Une fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ a sa dérivée nulle si et seulement si elle est constante. Le noyau de $\phi$ est donc l'ensemble des fonctions constantes. En particulier, $\phi$ n'est pas injective. D'autre part, si $g$ est une fonction de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R$, alors elle admet une primitive $f$ qui est donc elle aussi de classe $\mathcal C^\infty$, c'est-à-dire élément de $E$. On a alors $\phi(f)=g$, ce qui signifie que $\textrm{Im}(\phi)=E$. $\phi$ est surjective. Cet exercice illustre le fait que $\mathcal C^\infty(\mathbb R)$ n'est pas de dimension finie, puisque $\phi$ est surjective mais n'est pas injective.