Enoncé 
Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ l'application linéaire définie par
$$f(x,y)=(x+y,x-y,x+y).$$
Déterminer le noyau de $f$, son image. $f$ est-elle injective? surjective?
Corrigé 
Commençons par déterminer le noyau de $f$. $(x,y)\in\ker f$ si et seulement si $f(x,y)=(0,0,0)$ si et seulement si
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y&=&0\\
x-y&=&0\\
x+y&=&0\\
\end{array}\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y&=&0\\
2x&=&0\\
\end{array}\right.$$
On en déduit que $\ker(f)=\{(0,0)\}$, et en particulier que $f$ est injective.
Déterminons maintenant l'image de $f$. Un vecteur $(u,v,w)$ est dans l'image de $f$ si et seulement si
\begin{eqnarray*}
\exists (x,y)\in\mathbb R^2,\ (u,v,w)=f(x,y)&\iff&
\exists (x,y)\in\mathbb R^2,\ \left\{
\begin{array}{rcl}
u&=&x+y\\
v&=&x-y\\
w&=&x+y
\end{array}\right. \\
&\iff&
\exists (x,y)\in\mathbb R^2,\ \left\{
\begin{array}{rcl}
u&=&x+y\\
u+v&=&2x\\
w-u&=&0
\end{array}\right. \\
&\iff&\exists (x,y)\in\mathbb R^2,\ \left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{u-v}2&=&y\\
\frac{u+v}2&=&x\\
w-u&=&0
\end{array}\right. \\
\end{eqnarray*}
On en déduit que $\textrm{Im}(f)=\{(u,v,w)\in\mathbb R^3;\ u-w=0\}.$
En particulier, $(1,1,0)$ n'est pas dans $\textrm{Im}(f)$, et donc $f$ n'est pas surjective.
- Noyau et image
Bibm@th
