Application linéaire définie sur un espace de polynôme - Bibm@th.net

Il est facile de vérifier que $f$ est linéaire. Pour savoir si elle est injective, on calcule son noyau. Soit $P=\sum_{i=0}^n a_iX^i$ un polynôme. Alors $$f(P)=\sum_{i=0}^n a_iX^i-p\sum_{i=0}^n a_i X^{i+1}+\sum_{i=1}^n i a_i X^{i+1}$$ soit, après un changement d'indice $$f(P)=a_0 +\sum_{i=1}^n (a_i-(p+1-i)a_{i-1})X^i +(n-p)a_n X^{n+1}.$$ Si $f(P)=0$, on obtient donc $a_0=0$ et $a_i=(p+1-i)a_{i-1}$ pour $1\leq i\leq n$ ce qui entraine $a_i=0$ pour tout $i=0,\dots,n$. Ainsi, $P=0$, le noyau de $f$ est réduit à $\{0\}$ et $f$ est injective.
D'autre part, si $P$ est un polynôme de degré $n$, alors le calcul précédent montre que

• pour $n=p$, le degré de $f(P)$ est inférieur ou égal à $n$, et donc différent de $p+1$;
• pour $n\neq p$, alors $f(P)$ est de degré $n+1\neq p+1$.

Ainsi, $\textrm{Im}(f)$ ne contient pas de polynômes de degré $p+1$. Donc $f$ n'est pas surjective.