Enoncé 
Soit $E=\mathbb R^4$. On considère $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ une famille libre de $E$ et on pose
$$F=\textrm{vect}(u_1+u_2,u_3),\ G=\textrm{vect}(u_1+u_3,u_4),\ H=\textrm{vect}(u_1+u_4,u_2).$$
Démontrer que $F\cap G=\{0\}$, que $F\cap H=\{0\}$ et que $G\cap H=\{0\}$. La somme $F+G+H$ est-elle directe?
Corrigé 
On va simplement démontrer que $F\cap G=\{0\}$, les deux autres égalités se prouvant de façon tout à fait similaire. Soit $u\in F\cap G$. Alors il existe des scalaires $a,b,c,d$ tels que
$$u=a(u_1+u_2)+bu_3=c(u_1+u_3)+du_4\implies (a-c)u_1+au_2+(b-c)u_3-du_4=0.$$
La famille $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ étant libre, on en déduit que
$$a-c=a=b-c=-d=0,$$
d'où l'on déduit successivement $a=d=0$, puis $c=0$, $b=0$. Ainsi, $u=0$.
On va prouver que la somme $F+G+H$ n'est pas directe en trouvant un vecteur qui admet deux décompositions différentes dans $F+G+H$. Par exemple,
\begin{eqnarray*}
u_1&=&-u_3+(u_1+u_3)+0\in F+G+H\\
&=&(u_1+u_2)+0+(-u_2)\in F+G+H.
\end{eqnarray*}
La somme n'est pas directe!
