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Est-ce un sous-espace vectoriel? - Bibm@th.net

Exercice 1 - Est-ce un sous-espace vectoriel? ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Parmi les ensembles suivants, lesquels sont, ou ne sont pas, des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel $\mathbb R^n$ dans lequel ils sont inclus ?

$E_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ x+y+3z=0\}$;
$E_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ x+y+3z=2\}$;
$E_3=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ x=y=2z=4t\}$;
$E_4=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ xy=0\}$;
$E_5=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ y=x^2\}$;
$E_6=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ 2x+3y-5z=0\}\cap\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$;
$E_7=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ 2x+3y-5z=0\}\cup\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$.
$E_8=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ (2x+3y-5z)^2+(x-y+z)^2=0\}.$

Indication

Corrigé

Soient $X=(x,y,z)$ et $X'=(x',y',z')$ éléments de $E_1$. Alors, $X+X'=(x+x',y+y',z+z')$ est aussi élément de $E_1$. En effet, $$(x+x')+(y+y')+3(z+z')=(x+y+3z)+(x'+y'+3z')=0.$$ De même, pour tout $\lambda\in\mathbb R$, on a $\lambda X=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$ est élément de $E_1$ puisque $$\lambda x+\lambda y+3\lambda z=\lambda(x+y+3z)=0.$$ $E_1$ est donc un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$.
$E_2$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$ car $\vec 0=(0,0,0)$ n'est pas élément de $E_2$.
Soient $X=(x,y,z,t)$ et $X'=(x',y',z',t')$ deux éléments de $E_3$. Alors $X+X'=(x+x',y+y',z+z',t+t')$ est aussi élément de $E_3$. En effet, $$x+x'=y+y'=2z+2z'=2(z+z')=4t+4t'=4(t+t').$$ De même, on prouve que pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $\lambda X$ est élément de $E_3$. $E_3$ est donc un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^4$.
$E_4$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$ car il n'est pas stable par addition. En effet, $X=(1,0)$ et $Y=(0,1)$ sont tout les deux éléments de $E_4$, mais $X+Y=(1,1)$ n'est pas élément de $E_4$.
Les éléments $(1,1)$ et $(-1,1)$ sont éléments de $E_5$. Si on effectue leur somme, on trouve $(0,2)$ qui n'est pas élément de $E_5$ : $E_5$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$. Plus généralement, un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$ est une droite passant par $(0,0)$, ou $\mathbb R^2$ lui-même, ou encore le singleton $\{(0,0)\}$. $E_5$ est une parabole et n'est donc pas un sous-espace vectoriel.
Posons $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x+3y-5z=0\}$ et $G=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$. Comme à la première question, on montre que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$. Leur intersection $F\cap G$ est donc un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$.
Cette fois, aucun théorème du cours ne dit qu'une réunion de deux sous-espaces vectoriels reste un sous-espace vectoriel. Ici, prenons $(5,0,2)\in F\subset F\cup G$ et $(1,1,0)\in G\subset F\cup G$. Alors $(5,0,2)+(1,1,0)=(6,1,2)$ n'est pas élément de $F$ car $12+3-10=5\neq 0$, et il n'est pas non plus élément de $G$ car $6-1+2=7\neq 0$. Ainsi, $F\cup G$ n'est pas stable par addition et n'est donc pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$. Plus généralement, on prouve qu'une réunion de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel si et seulement si l'un des deux est inclus dans l'autre.
On remarque que si $a$ et $b$ sont deux réels, alors on a $a^2+b^2=0$ si et seulement si $a=b=0$. Ainsi, on a $(x,y,z)\in E_8$ si et seulement $2x+3y-5z=0$ et $x-y+z=0$, si et seulement si $(x,y,z)\in E_6$. Ainsi, $E_8$ est bien un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$.