Développement limité d'une fonction réciproque - Bibm@th.net

Exercice 1 - Développement limité d'une fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=x\exp(x^2)$.

1. Démontrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$.
2. Justifier que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $4$ en $0$.
3. Donner ce développement limité.

Indication

Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=x\exp(x^2)$.

1. Théorème des valeurs intermédiaires....et son corollaire théorème de la bijection (monotone).
2. Quelle est la régularité de $f$ en $0$?
3. Écrire que $f^{-1}\circ f(x)=x$ et utiliser l'unicité des développements limités.

Corrigé

Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=x\exp(x^2)$.

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et sa dérivée est $$f'(x)=(2x^2+1)\exp(x^2)>0.$$ En particulier, $f$ est strictement croissante. De plus, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. Puisque $f$ est de plus continue, $f$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$.
2. $f'$ ne s'annulant pas, on en déduit que $f^{-1}$ est de classe $C^\infty$, et donc admet un développement limité à tout ordre en $0$.
3. On remarque d'abord que $f^{-1}(0)=0$. Écrivons le DL de $f^{-1}$ en $0$ sous la forme $$f^{-1}(y)=ay+by^2+cy^3+dy^4+o(y^4).$$ On a de plus $$f(x)=x+x^3+o(x^4).$$ Posons $y=x+x^3+o(x^4)$. On a alors \begin{eqnarray*} y&=&x+x^3+o(x^4)\\ y^2&=&x^2+2x^4+o(x^4)\\ y^3&=&x^3+o(x^4)\\ y^4&=&x^4+o(x^4). \end{eqnarray*} Il vient $$f^{-1}(f(x))=ax+bx^2+(a+c)x^3+(2b+d)x^4+o(x^4).$$ Mais, $$f^{-1}(f(x))=x=x+o(x^4).$$ Par unicité des développements limités, on en déduit que $a=1$, $b=0$, $a+c=0$ et $2b+d=0$. On obtient finalement le DL suivant pour la fonction $f^{-1}$ : $$f^{-1}(y)=y-y^3+o(y^4).$$ On aurait pu, pour simplifier un peu les calculs, remarquer que la fonction $f^{-1}$, tout comme la fonction $f$, est impaire, et donc que les coefficients d'ordre pair du DL sont nuls.