Enoncé 
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a
$$\sqrt{n+1}-\sqrt n\leq\frac{1}{2\sqrt n}.$$
En déduire le comportement de la suite $(u_n)$ définie par
$$u_n=1+\frac{1}{\sqrt 2}+\dots+\frac{1}{\sqrt n}.$$
Indication 
Pour la première question, utiliser la quantité conjuguée. Pour la seconde, on a affaire
à une somme télescopique.
Corrigé Multipliant la différence de deux racines par la quantité conjuguée, on trouve
$$\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt n)(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\leq \frac{1}{2\sqrt n}.$$
On somme alors ces inégalités, et les termes à gauche se télescopent :
$$2\big(\sqrt{n+1}-\sqrt 1\big)\leq u_n.$$
Par le théorème de comparaison, on en déduit que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
