Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices >

Deux exemples - Bibm@th.net

Exercice 1 - Deux exemples ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $n\geq 2$ entier. Calculer $I=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^n}$. On pourra intégrer sur le bord du compact $K=\{\rho e^{i\theta};\ 0\leq \rho\leq R\textrm{ et }0\leq\theta\leq 2\pi/n\}$.
Soient $n>2$ un entier et $\alpha$ un réel tel que $n>\alpha+1>0$. Calculer l'intégrale $J=\int_0^{+\infty}\frac{x^\alpha}{1+x^n}dx$. On pourra intégrer sur le bord du compact $L=\{\rho e^{i\theta};\ r\leq \rho\leq R\textrm{ et }0\leq\theta\leq 2\pi/n\}$.

Indication

Corrigé

Notons $\gamma$ le bord du compact $K$ et $f(z)=\frac{1}{1+z^n}$. Le seul pôle de $f$ dans $K$ est en $\exp(i\pi/n)$. Le résidu de $f$ en $\exp(i\pi/n)$ est égal à $$\textrm{Res}(f,\exp(i\pi/n))=\frac{1}{n(e^{i\pi/n})^{n-1}}=-\frac{e^{i\pi /n}}{n}$$ (on a utilisé le fait que, si $f=g/h$ et $a$ est un pôle simple de $f$, alors le résidu de $f$ en $a$ est égal à $g(a)/h'(a)$). Par application du théorème des résidus, on a $$I_R=\int_{\gamma}f(z)dz=-\frac{2i\pi\exp(i\pi/n)}{n}.$$ D'autre part, on découpe $\gamma$ en trois parties, et on a aussi \begin{eqnarray*} I_R&=&\int_0^R\frac{dx}{1+x^n}+\int_0^{2\pi/n}\frac{iRe^{it}}{1+R^n e^{int}}dt-\int_0^R \frac{\exp(2i\pi/n)}{1+\exp(2i\pi/n)^n x^n}dx\\ &=&-2i\exp(i\pi/n)\sin\frac\pi n\int_0^R\frac{dx}{1+x^n}+\int_0^{2\pi/n}\frac{iRe^{it}}{1+R^n e^{int}}dt. \end{eqnarray*} On remarque alors que $$\left|\int_0^{2\pi/n}\frac{iRe^{it}}{1+R^n e^{int}}dt\right|\leq \frac{2\pi R}{n(R^n -1)}\xrightarrow{R\to\infty}0.$$ On conclut alors facilement que $$I=\frac{\pi}{n\sin\frac\pi n}.$$
D'après les hypothèses, l'intégrale $J$ est convergente. Soit $z^\alpha$ la détermination principale de la fonction puissance $\alpha$ et posons $g(z)=\frac{z^\alpha}{1+z^n}$. On applique exactement la même méthode qu'à la question précédente, sachant que $$\textrm{Res}(g,\exp(i\pi/n))=\frac{\exp(i\alpha\pi/n)}{n(e^{i\pi/n})^{n-1}}=-\frac{e^{i(\alpha+1)\pi /n}}{n}.$$ Pour $\rho>0$, on note $J_\rho$ l'intégrale de $g$ le long de $\gamma_\rho(t)=\rho e^{it}$, $0\leq t\leq 2\pi/n$. Alors, notant $\Gamma$ le bord de $L$, on a $$\int_\Gamma g(z)dz=\int_{r}^R \frac{x^\alpha}{1+x^n}dx+J_R-\exp\left(\frac{2i\pi(\alpha+1)}{n}\right)\int_r^R \frac{x^\alpha}{1+x^n}dx-J_r.$$ Or, $$J_\rho=i\rho^{\alpha+1}\int_0^{2\pi/n}\frac{e^{i(\alpha+1)t}}{\rho^n e^{int}-1}dt,$$ soit $$|J_\rho|\leq \frac{2\pi}n \frac{\rho^{\alpha+1}}{\big| \rho^n-1\big |}.$$ On en déduit que $J_\rho\to 0$ si $\rho\to 0$ ou si $\rho\to +\infty$. Raisonnant comme à la question précédente, on conclut alors facilement que $$J=\frac{\pi}{n\sin\frac{(\alpha+1)\pi}{n}}.$$