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Une suite récurrente - Bibm@th.net

Exercice 1 - Une suite récurrente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la suite récurrente définie par $u_0\in \mathbb R^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb N$, où $f$ la fonction définie par $f(x)=1+\frac 14\sin\frac 1x$.
  1. Déterminer $I=f(\mathbb R^*)$, et montrer que $I$ est stable par $f$.
  2. Démontrer qu'il existe $\gamma\in I$ tel que $f(\gamma)=\gamma$.
  3. Démontrer que, pour tout $x\in I$, $$|f'(x)|\leq\frac 49.$$
  4. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.
Indication
Corrigé