Enoncé 
- Montrer que la suite $(x_n)$ définie par $x_n=\cos\left(\left(n+\frac1n\right)\pi\right)$ est divergente.
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- Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $(3+\sqrt 5)^n+(3-\sqrt 5)^n$ est un entier pair.
- En déduire que la suite $\left(\sin\left(\left(3+\sqrt 5\right)^n\pi\right)\right)$ converge et déterminer sa limite.
Indication 
- Utiliser des suites extraites.
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- Formule du binôme.
- $|3-\sqrt 5|<1$.
Corrigé
- Il suffit d'étudier les deux suites extraites $(x_{2n})$ et $(x_{2n+1})$. En effet, on a
$$x_{2n}=\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)\to 1$$
alors que
$$x_{2n+1}=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{2n+1}\right)\to -1.$$
$(x_n)$ admet deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes. Elle est divergente.
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- C'est une simple application de la formule du binôme. En effet,
\begin{eqnarray*}
(3+\sqrt 5)^n+(3-\sqrt 5)^n&=&\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}3^{n-k}\left((\sqrt 5)^k+(-1)^k(\sqrt{5})^k\right).
\end{eqnarray*}
Or, si $k=2p$ est pair,
$$(\sqrt 5)^k+(-1)^k(\sqrt{5})^k=2\times 5^p$$
qui est un entier pair. Si $k$ est impair,
$$(\sqrt 5)^k+(-1)^k(\sqrt{5})^k=0$$
qui est aussi un entier pair. $(3+\sqrt 5)^n+(3-\sqrt 5)^n$ est donc la somme d'entiers pairs,
c'est un entier pair.
- D'après la question précédente, il existe un entier $k$ tel que
$$(3+\sqrt 5)^n\pi=2k\pi-(3-\sqrt 5)^n\pi.$$
On en déduit que
$$\sin\left(\left(3+\sqrt 5\right)^n\pi\right)=-\sin\left(\left(3-\sqrt 5\right)^n\pi\right).$$
Or, il est facile de vérifier que $|3-\sqrt 5|<1$ et donc que $(3-\sqrt 5)^n$ tend vers 0.
Par composition des limites, il en est de même de $\sin\left(\left(3-\sqrt 5\right)^n\pi\right)$
et donc de $\sin\left(\left(3+\sqrt 5\right)^n\pi\right)$.
