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Irrationalité de $\sqrt 2$ - Bibm@th.net

Exercice 1 - Irrationalité de $\sqrt 2$ ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Le but de cet exercice est de démontrer que $\sqrt 2$ est irrationnel en utilisant l'algorithme d'Euclide. On raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe deux entiers strictement positifs $a$ et $b$ tels que $\sqrt 2=a/b$. On pose $c=\sqrt 2+1$.

Vérifier que $a=b+\frac bc$, puis que $c=2+\frac 1c$.
Démontrer que $\frac bc$ est un entier, et qu'il est égal au reste $r_1$ de la division euclidienne de $a$ par $b$. Quel est le quotient $q_1$ de cette division?
Montrer que dans la division euclidienne de $b$ par $r_1$, le quotient est $q_2=2$ et le reste est $r_2=\frac{r_1}c$.
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Démontrer que l'algorithme d'Euclide appliqué au couple $(a,b)$ comporte au moins $n$ étapes, que le $n$-ième quotient est $q_n=2$, et que le $n$-ième reste est $r_n=\frac{r_{n-1}}c$.
Conclure.

Indication

Corrigé

Il s'agit de simples vérifications utilisant la quantité conjuguée. Par exemple, on a \begin{eqnarray*} b+\frac bc&=&b\times\frac{1+c}c\\ &=&b\times \frac{2+\sqrt 2}{\sqrt 2+1}\\ &=&b\times \frac{(2+\sqrt 2)(\sqrt 2-1)}{1}\\ &=&b\sqrt 2. \end{eqnarray*}
$\frac bc$ est un entier comme différence de deux entiers $(a-b=b/c)$. De plus, $0<\frac bc<b$ et $a=b+\frac bc$. Par unicité de la division euclidienne, $\frac bc$ est donc le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$, le quotient étant $q_1=1$.
La propriété sera vérifiée si on arrive à prouver que $$b=2r_1+\frac{r_1}c,$$ le même raisonnement que le précédent assurant alors que $\frac{r_1}c$ est un entier et est le reste de la division euclidienne de $b$ par $r_1$. Mais cette inégalité est équivalente à $$b=2\frac bc+\frac{b}{c^2}\iff c=2+\frac 1c.$$ On a justement démontré cette propriété à la première question.
On va raisonner par récurrence sur $n$. On note $P_n$ la propriété : "la division euclidienne de $a$ par $b$ comporte au moins $n$ étapes, le $n$-ième quotient est $2$ et le $n-$ième reste est $r_n=\frac{r_{n-1}}c$. On vient de voir à la question précédente que $P_2$ est vraie. On suppose que $P_n$ est vraie, et prouvons $P_{n+1}$. On a $$r_{n-2}=2r_{n-1}+r_n\textrm{ avec }r_n=\frac{r_{n-1}}c.$$ $r_n$ est donc non-nul, et la division euclidienne de $a$ par $b$ va comporter donc une $n+1$-ème étape. Celle-ci s'écrit $$r_{n-1}=q_{n+1}r_{n}+r_{n+1}.$$ On cherche à prouver que $q_{n+1}=2$ et $r_{n+1}=\frac{r_{n}}c$. Par unicité de la division euclidienne, il suffit de prouver que $$r_{n-1}=2 r_n+\frac{r_n}{c}.$$ Écrivant $r_{n-1}=c r_n$ et simplifiant par $r_n$, on voit que ceci se ramène à prouver que $$c=2+\frac 1c$$ et on sait que ceci est vrai. $P_{n+1}$ est donc vérifiée, et par récurrence, $P_n$ est vraie pour tout entier $n$.
Si l'hypothèse était vraie, la division euclidienne de $a$ par $b$ devrait comporter un nombre fini d'étapes. Or, on vient de prouver à la question précédente que ce n'est pas le cas. L'hypothèse de départ est donc fausse, et $\sqrt 2$ est un irrationnel.